Limite avec racine carrée

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = n^2 + n - n.

Indice : Multiplie et divise par l'expression conjuguée n^2 + n + n.

Correction

1. Étape 1 : Une forme - avec une racine — et il n'y a qu'un seul geste pour celle-là. La quantité conjuguée : Pour lever A - B, on multiplie et divise par A + B : [formule] 👉 Pourquoi ça marche : l'identité (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 fait disparaître la racine du numérateur, puisque ( A)^2 = A. L'indétermination s'y trouve levée, et il ne reste qu'à traiter le dénominateur. ⚠️ C'est le geste pour cette forme : ni la factorisation ni la croissance comparée ne fonctionnent quand une racine et un terme linéaire se soustraient.
2. Étape 2 : u_n = n^2+n - n : forme (+) - (+), indéterminée. On multiplie et divise par la conjuguée n^2+n + n : u_n = ({n^2+n - n)(n^2+n + n)}{n^2+n + n} Le numérateur devient (n^2+n)^2 - n^2 : = n^2 + n - n^2 = n [formule] 👉 L'indétermination a disparu du numérateur, et c'était tout l'objet du geste.

   u_n = n{n^2+n + n}

3. Étape 3 : Il reste une forme {}, qu'on traite par factorisation — le geste habituel. Au dénominateur, on sort n de la racine. ⚠️ Licite car n > 0 : on a n^2 = n et non -n. n^2+n = n^2(1 + {1{n})} = n1+{1{n}} [formule] Quand n + : 1{n} 0, donc 1+{1{n}} 1 = 1. [formule]

   u_n = 1{2}

4. Étape 4 : 👉 Le résultat mérite un regard. On soustrait n à n^2+n — deux quantités qui explosent — et il reste 1{2} : un nombre fini, et même pas nul. Contrôle numérique, qui rend la chose tangible : | n | n^2+n | -\,n | u_n | |:---|---:|---:|---:| | 10 | 10{,}488 | 10 | 0{,}488 | | 100 | 100{,}499 | 100 | 0{,}499 | | 1000 | 1000{,}4999 | 1000 | 0{,}4999 | La convergence vers 1{2} est nette. Autrement dit, n^2+n vaut « à peu près n + 1{2} » pour n grand — ce qui est cohérent, puisque (n+1{2})^2 = n^2 + n + 1{4}, à un quart près de n^2+n.

   n^2+n n + 1{2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure n^2+n - n 0 « parce que n^2+n ressemble à n ». L'approximation est vraie au premier ordre — mais la différence qu'on calcule est précisément ce que cette approximation néglige. Écrire « forme - » est l'aveu qu'on ne peut pas conclure ainsi. 👉 La quantité conjuguée n'est pas une astuce de plus : c'est LE geste de cette forme, et on la reconnaît à la présence d'une racine dans une soustraction. À retenir : Racine dans une différence quantité conjuguée, qui fait disparaître la racine du numérateur. 👉 Et sortir n d'une racine exige n > 0 : n^2 = |n|, qui vaut n seulement pour n positif.