Suite bornée avec valeur absolue

Énoncé

Montrer que la suite (u_n) définie par u_n = (-1)^n{n} est bornée.

Indice : Calcule |u_n| et montre qu'il est majoré.

Correction

1. Étape 1 : Une suite alternée dont on demande seulement qu'elle soit bornée — pas qu'elle converge. 👉 La valeur absolue est l'outil qui simplifie tout : elle efface le signe alternant, et l'on se ramène à une suite positive qu'on sait majorer. Le geste : [formule] car |(-1)^n| = 1 pour tout n, pair ou impair. ⚠️ Et il ne faut pas distinguer les cas pairs et impairs : la valeur absolue les traite d'un coup, ce qui divise le travail par deux.
2. Étape 2 : On passe à la valeur absolue : |u_n| = |(-1)^n{n}| = |(-1)^n|{n} = 1{n} (le dénominateur n est positif, sa valeur absolue est lui-même) On majore : pour n 1, 1{n} 1. [formule] [formule]

   |u_n| = 1{n} 1

3. Étape 3 : 👉 L'encadrement explicite, si l'on préfère la forme sans valeur absolue : [formule] ℹ️ Cette suite converge d'ailleurs vers 0 — par les gendarmes, exactement comme (n){n} de l'exercice 34007. Mais ce n'est pas ce qu'on demandait : « bornée » est une propriété plus faible que « convergente », et l'exercice s'arrête là. ⚠️ Et l'inverse est faux : une suite bornée peut ne pas converger. On le verra sur (-1)^n, qui est bornée par 1 et n'a aucune limite. La différence entre les deux suites est le 1{n} : il fait décroître l'amplitude de l'oscillation, ce qui force la convergence.

   -1 u_n 1

4. Étape 4 : L'erreur classique : Traiter séparément les cas n pair et n impair. Ce n'est pas faux, mais c'est deux fois plus long — et la valeur absolue existe précisément pour éviter cette distinction. |(-1)^n| = 1 quelle que soit la parité. 👉 Le réflexe : devant une suite alternée dont on veut borner l'amplitude, passer à |u_n| dès la première ligne. À retenir : |(-1)^n| = 1 toujours — la valeur absolue efface l'alternance. 👉 Et « bornée » n'implique pas « convergente » : c'est une propriété strictement plus faible.