Limite d'un produit

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = n^2 + 1{n^3 + 2}.

Indice : Factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Même méthode qu'à l'exercice 34006, avec des degrés différents — et c'est ce qui change la réponse. 👉 On factorise toujours par la plus haute puissance présente, quel que soit l'endroit où elle se trouve. Ici c'est n^3, au dénominateur. ⚠️ Le piège est de factoriser par des puissances différentes en haut et en bas. La méthode exige la même puissance des deux côtés — c'est ce qui permet de la simplifier ensuite.
2. Étape 2 : u_n = n^2+1{n^3+2} : forme +{+}, indéterminée. La plus haute puissance est n^3. On factorise par n^3 au numérateur comme au dénominateur : n^2 + 1 = n^3(1{n} + 1{n^3}) ⚠️ Vérification : n^3 1{n} = n^2 ✓ et n^3 1{n^3} = 1 ✓ n^3 + 2 = n^3(1 + 2{n^3}) [formule]

   u_n = {1{n}+1{n^3}}{1+2{n^3}}

3. Étape 3 : Tous les termes en 1{n^k} tendent vers 0 : [formule] 👉 Contrôle par les degrés : le dénominateur est de degré 3, le numérateur de degré 2 — le bas l'emporte, donc la limite est 0 ✓ C'est cohérent avec l'intuition : n^3 croît beaucoup plus vite que n^2, donc la fraction s'écrase. ℹ️ Numériquement : u_{10} 0{,}10, u_{100} 0{,}010, u_{1000} 0{,}001. On reconnaît une décroissance en 1{n} — ce qui se voit aussi sur l'expression factorisée, dont le terme dominant du numérateur est 1{n}.

   u_n = 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Factoriser par n^2 en haut et n^3 en bas. On obtiendrait n^2(1+{1{n^2})}{n^3(1+2{n^3})}, où les puissances ne se simplifient plus : il resterait un 1{n} devant, qu'il faut alors traiter à part. Ce n'est pas faux, mais c'est plus long et plus fautif. 👉 Une seule puissance, la plus haute, des deux côtés. C'est ce qui rend la simplification complète. À retenir : Factoriser par la même puissance en haut et en bas — la plus haute présente. 👉 Et le contrôle par les degrés donne la réponse de tête : bas plus fort 0.