Suite croissante majorée

Énoncé

Soit (u_n) la suite définie par u_n = 1 - 1{n} pour n 1. 1. Montrer que (u_n) est croissante. 2. Montrer que (u_n) est majorée. 3. En déduire sa limite.

Indice : Pour la question 1, compare u_{n+1} et u_n. Pour la question 2, trouve un majorant. Pour la question 3, utilise le théorème de convergence des suites monotones.

Correction

1. Étape 1 : Le schéma le plus important du chapitre : croissante + majorée convergente. Convergence monotone : Toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge. 👉 Ce théorème est puissant parce qu'il ne demande pas de connaître la limite : il affirme son existence à partir de deux propriétés vérifiables. C'est souvent le seul moyen de prouver qu'une suite converge quand on ne sait pas la calculer. ⚠️ Les deux conditions sont nécessaires. Croissante sans majorant diverge vers + (u_n = n). Majorée sans monotonie peut ne pas converger (u_n = (-1)^n est majorée par 1 et n'a pas de limite).
2. Étape 2 : 1) La croissance. On étudie le signe de la différence : u_{n+1} - u_n = (1 - 1{n+1}) - (1 - 1{n}) Les deux « 1 » s'annulent : = 1{n} - 1{n+1} = (n+1) - n{n(n+1)} = 1{n(n+1)} Pour n 1, numérateur et dénominateur sont positifs : [formule]

   u_{n+1} - u_n = 1{n(n+1)} > 0

3. Étape 3 : 2) La majoration. Pour n 1 : 1{n} > 0, donc -1{n} < 0, donc [formule] [formule] 👉 Le majorant est ici évident sur la forme de u_n : on retranche à 1 une quantité strictement positive, donc on reste sous 1. C'est la forme de l'expression qui donne le majorant, pas un calcul.

   u_n < 1 pour tout n 1

4. Étape 4 : 3) La conclusion. (u_n) est croissante et majorée par 1 : par le théorème de convergence monotone, elle converge. Reste à trouver vers quoi. Ici c'est direct, puisqu'on connaît l'expression : 1{n} 0, donc [formule] ⚠️ Attention à une formulation dangereuse : le théorème dit que la suite converge vers un réel — il ne dit pas qu'elle converge vers le majorant. Ici la limite se trouve être 1, mais c'est parce qu'on l'a calculée, pas parce que 1 majorait. 👉 Contre-exemple : la même suite est aussi majorée par 100, et elle ne converge pas vers 100. Le majorant donne l'existence de la limite, jamais sa valeur.

   u_n = 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « la suite converge vers son majorant ». Le théorème garantit seulement qu'une limite existe. Sa valeur se trouve autrement : soit par calcul direct (comme ici), soit par l'équation du point fixe pour une suite récurrente. 👉 Le contre-exemple qui le prouve : u_n = 1 - 1{n} est majorée par 1, par 2, par 100 — et sa limite est 1. Le majorant n'est pas la limite ; c'est seulement une borne. À retenir : Croissante + majorée converge — les deux conditions sont nécessaires. 👉 Et le théorème donne l'existence de la limite, jamais sa valeur.