Suite croissante majorée

Énoncé

Soit (u_n) la suite définie par u_n = 1 - 1{n} pour n 1. 1. Montrer que (u_n) est croissante. 2. Montrer que (u_n) est majorée. 3. En déduire sa limite.

Indice : Pour la question 1, compare u_{n+1} et u_n. Pour la question 2, trouve un majorant. Pour la question 3, utilise le théorème de convergence des suites monotones.

Correction

1. Étape 1 : **1)** On compare u_{n+1} et u_n :

   u_{n+1} - u_n = (1 - 1{n+1}) - (1 - 1{n}) = 1{n} - 1{n+1} = 1{n(n+1)} > 0

2. Étape 2 : Donc u_{n+1} > u_n pour tout n 1, la suite est croissante.
3. Étape 3 : **2)** Pour n 1, on a 1{n} > 0, donc u_n = 1 - 1{n} < 1. La suite est majorée par 1.
4. Étape 4 : **3)** La suite est croissante et majorée, donc elle converge vers sa borne supérieure :

   _{n +} u_n = 1