Théorème des gendarmes

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = (n){n}.

Indice : Utilise le fait que -1 (n) 1 et applique le théorème des gendarmes.

Correction

1. Étape 1 : Le théorème des gendarmes sert exactement quand on sait encadrer une suite sans savoir la calculer. Théorème des gendarmes : Si a_n u_n b_n et si a_n et b_n (la même limite), alors u_n . 👉 Le nom dit tout : deux gendarmes encadrent le prisonnier et l'emmènent où ils vont. S'ils vont au même endroit, il n'a pas le choix. ⚠️ (n) n'a AUCUNE limite : la suite (1), (2), (3) oscille indéfiniment entre -1 et 1 sans se stabiliser. On ne peut donc pas calculer la limite terme à terme — mais on peut borner le cosinus, et c'est tout ce qu'il faut.
2. Étape 2 : L'encadrement de départ, valable pour tout entier n : [formule] On divise par n. ⚠️ Comme n > 0, le sens des inégalités est CONSERVÉ — diviser par un négatif les retournerait toutes les deux. [formule]

   -1{n} u_n 1{n}

3. Étape 3 : Les deux gendarmes ont la même limite : _{n +}(-1{n}) = 0 et _{n +} 1{n} = 0 Le théorème s'applique : [formule] 👉 Le mécanisme en une phrase : un numérateur borné divisé par quelque chose qui tend vers l'infini donne 0 — quelle que soit la façon dont le numérateur s'agite. C'est un schéma qui revient constamment : dès qu'on voit , ou (-1)^n au numérateur d'une fraction dont le dénominateur explose, la réponse est 0 et la méthode est les gendarmes.

   u_n = 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire « (n) 0 » ou lui attribuer une limite quelconque. (n) n'a pas de limite — et c'est exactement pour cela que le théorème des gendarmes existe : il permet de conclure sans jamais calculer la limite du numérateur. 👉 Second point souvent oublié : vérifier que les deux gendarmes ont bien la même limite. Si l'un tendait vers 0 et l'autre vers 1, le théorème ne dirait rien. À retenir : Numérateur borné sur dénominateur qui explose limite 0, par les gendarmes. 👉 Et l'on ne cherche jamais la limite du numérateur : on se contente de le borner.