Limite avec forme indéterminée

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = 2n + 1{n + 3}.

Indice : Factorise par n au numérateur et au dénominateur, puis simplifie.

Correction

1. Étape 1 : Une forme indéterminée {}, et le geste standard pour la lever. Quotient de polynômes en n : Factoriser haut et bas par la plus haute puissance de n, puis simplifier. Tous les termes en 1{n^k} tendent alors vers 0, et il ne reste que le rapport des coefficients dominants. 👉 Pourquoi ça marche : la factorisation isole le terme qui explose, puis on le simplifie entre haut et bas. Ce qui reste a une limite finie. ⚠️ Et il faut nommer la forme indéterminée avant de calculer : sans cela, on donne l'impression de conclure au jugé.
2. Étape 2 : u_n = 2n+1{n+3} : numérateur et dénominateur tendent tous deux vers +. [formule] On factorise par n, la plus haute puissance présente : u_n = n(2 + {1{n})}{n(1 + 3{n})} ⚠️ Vérification de la factorisation : n 2 + n 1{n} = 2n + 1 ✓ et n 1 + n 3{n} = n + 3 ✓

   u_n = n(2+{1{n})}{n(1+3{n})}

3. Étape 3 : On simplifie par n (licite car n 0) : u_n = 2 + {1{n}}{1 + 3{n}} Quand n + : 1{n} 0 et 3{n} 0, donc [formule] 👉 Contrôle immédiat : les degrés sont égaux (1 en haut, 1 en bas), donc la limite est le rapport des coefficients dominants : 2{1} = 2 ✓ Ce contrôle se fait de tête et confirme tout le calcul. ℹ️ Et numériquement : u_{10} = 21{13} 1{,}62, u_{100} = 201{103} 1{,}95, u_{1000} 1{,}995. La convergence vers 2 est nette, quoique lente.

   u_n = 2

4. Étape 4 : L'erreur classique : Simplifier « à vue » en écrivant 2n{n} = 2 sans factoriser. Le résultat est juste ici, mais le raisonnement ne l'est pas — et il échoue dès que les degrés diffèrent. La factorisation est une méthode, la simplification à vue une intuition. 👉 Les trois cas à connaître : | degrés | limite | |:---|:---| | égaux | rapport des coefficients dominants | | bas plus fort | 0 | | haut plus fort | | À retenir : Factoriser par la plus haute puissance, puis simplifier — la méthode marche toujours. 👉 Et le contrôle par les degrés se fait de tête : ici degrés égaux, donc 2{1} = 2.