Suite bornée simple
Énoncé
Montrer que la suite (u_n) définie par u_n = 1{n} est bornée.
Indice : Montre que |u_n| est majoré par un nombre réel positif.
Correction
- Étape 1 : Bornée signifie « qui ne part pas à l'infini, ni d'un côté ni de l'autre ».
Suite bornée :
(u_n) est bornée s'il existe un réel M tel que
[formule]
👉 Un seul M pour toute la suite — c'est ce qui fait la force de la définition. Il ne suffit pas que chaque terme soit fini : il faut un plafond commun.
⚠️ Et la valeur absolue borne des deux côtés à la fois : |u_n| M équivaut à -M u_n M. C'est pourquoi une seule inégalité suffit.
ℹ️ Ne pas confondre avec « convergente » : une suite bornée peut parfaitement ne pas converger (voir (-1)^n, exercice 34014). En revanche, toute suite convergente est bornée.
- Étape 2 : u_n = 1{n} pour n 1.
Le signe d'abord : n 1 > 0, donc u_n > 0, et par conséquent
|u_n| = u_n = 1{n}
Le majorant ensuite : comme n 1, on a 1{n} 1{1} = 1.
[formule]
[formule]
|u_n| 1
- Étape 3 : 👉 On peut être plus précis : la suite est majorée par 1 (atteint en n=1) et minorée par 0 (jamais atteint). Elle vit donc entièrement dans ]0\,;1].
Le majorant 1 est le meilleur possible — c'est la valeur du premier terme. Le minorant 0 aussi, au sens où aucun nombre strictement positif ne minore la suite (elle finit par passer en dessous de n'importe lequel).
ℹ️ Attention à la justification de la deuxième ligne : 1{n} 1 parce que n 1, et que la fonction inverse est décroissante sur les positifs. Ce n'est pas une évidence à sauter — pour 0 < n < 1, on aurait 1{n} > 1.
0 < u_n 1
- Étape 4 : L'erreur classique :
Dire « la suite est bornée car chaque terme est fini ».
Chaque terme d'une suite est toujours fini — c'est un réel. Ce qui définit une suite bornée, c'est l'existence d'un plafond commun à tous les termes. La suite u_n = n a tous ses termes finis et n'est pas bornée.
👉 Il faut donc EXHIBER un M, et montrer que l'inégalité vaut pour tout n.
À retenir :
Bornée il existe un seul M tel que |u_n| M pour tout n.
👉 Et bornée n'est pas convergente : (-1)^n est bornée sans converger. En revanche toute suite convergente est bornée.