Limite d'une somme de suites

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = 1{n} + 2.

Indice : Décompose la suite en utilisant la linéarité de la limite.

Correction

1. Étape 1 : Une limite de somme, qui se traite terme à terme grâce aux opérations sur les limites. Limite d'une somme : Si a_n _1 et b_n _2 (finies), alors a_n + b_n _1 + _2. 👉 La condition « finies » est essentielle : le théorème ne s'applique tel quel que si les deux limites existent et sont des nombres. Avec deux infinis de signes opposés, on obtiendrait la forme indéterminée - . ℹ️ Ici les deux limites sont finies (0 et 2), donc aucun problème : le théorème s'applique directement.
2. Étape 2 : u_n = 1{n} + 2. On traite les deux termes séparément : _{n +} 1{n} = 0 (la suite 1{n} est la limite de référence du chapitre) _{n +} 2 = 2 (une constante est sa propre limite) Par somme : [formule]

   u_n = 2

3. Étape 3 : 👉 Ce que cela signifie graphiquement, et c'est utile pour la suite du chapitre : les termes de la suite s'approchent de 2 par au-dessus, puisque 1{n} > 0 toujours. u_1 = 3 ; u_{10} = 2{,}1 ; u_{100} = 2{,}01 ; u_{1000} = 2{,}001… La suite ne vaut jamais 2, elle s'en approche indéfiniment. C'est exactement ce que dit une limite : une valeur qu'on approche d'aussi près qu'on veut, sans nécessairement l'atteindre. ℹ️ Cette suite est d'ailleurs décroissante et minorée par 2 — on retrouvera ce couple de propriétés à l'exercice 34008, où il servira à démontrer la convergence.

   u_n > 2 pour tout n 1

4. Étape 4 : L'erreur classique : Répondre 0 — en ne regardant que le terme qui varie. La constante 2 ne disparaît pas : elle est ajoutée, donc elle reste dans la limite. Seul 1{n} s'efface. 👉 Le contrôle : calculer u_{100} = 2{,}01. Une limite de 0 serait manifestement fausse. À retenir : Les limites s'additionnent quand elles sont finies. 👉 Et une limite est une valeur approchée indéfiniment, pas nécessairement atteinte : ici u_n > 2 pour tout n.