Limite d'une suite géométrique avec q > 1

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = 3 2^n.

Indice : Applique le théorème sur les limites des suites géométriques avec q > 1.

Correction

1. Étape 1 : Le cas q > 1 d'une suite géométrique — la croissance exponentielle. Suite géométrique divergente : Si q > 1, alors q^n +, et u_0 q^n tend vers : [formule] 👉 Ici le signe de u_0 compte — contrairement au cas convergent, où il ne changeait rien. La raison est simple : on multiplie une quantité qui explose, donc le signe se conserve et se propage à l'infini. ⚠️ Ne pas confondre avec le cas |q| < 1, où u_0 multipliait zéro et disparaissait.
2. Étape 2 : u_n = 3 2^n : géométrique de raison q = 2 et de premier terme u_0 = 3. q = 2 > 1 et u_0 = 3 > 0, donc [formule] 👉 Contrôle : 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48… La suite double à chaque étape. ℹ️ Et ce doublement est vertigineux : au rang 20 elle vaut déjà 3 2^{20} = 3\,145\,728, et au rang 40 plus de trois mille milliards. C'est le mécanisme de la légende des grains de riz sur l'échiquier — et celui des intérêts composés.

   q = 2 > 1, \ u_0 > 0 u_n = +

3. Étape 3 : L'erreur classique : Oublier de regarder le signe de u_0 dans le cas divergent. Avec u_n = -3 2^n, la suite vaut -3 ; -6 ; -12… et tend vers -. Le facteur négatif retourne complètement le comportement. 👉 Le repère : |q| < 1 u_0 ne change rien (on multiplie zéro). q > 1 u_0 décide du signe de l'infini. À retenir : q > 1 divergence, et le signe de u_0 décide de quel côté. 👉 Une croissance géométrique dépasse toute croissance arithmétique : 3 2^n dépasse 5 + 3n dès le rang 2, et l'écart devient rapidement astronomique.