Limite d'une suite géométrique

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = 2 (1{3})^n.

Indice : Identifie la raison de la suite géométrique et applique le théorème sur les limites des suites géométriques.

Correction

1. Étape 1 : Une suite géométrique multiplie par la même quantité à chaque étape, et son comportement dépend de |q|. Limite d'une suite géométrique q^n : [formule] 👉 La condition porte sur |q|, pas sur q : une raison de -1{3} donne une suite qui alterne de signe tout en tendant vers 0. La valeur absolue traite les deux cas d'un coup. ⚠️ Et le dernier cas est à connaître : pour q -1, la suite oscille entre des valeurs qui ne se rapprochent de rien — elle n'a pas de limite, ce qui n'est pas la même chose que « diverge vers l'infini ».
2. Étape 2 : u_n = 2 (1{3})^n : suite géométrique de raison q = 1{3}, de premier terme u_0 = 2. |1{3}| = 1{3} < 1, donc [formule] 👉 Contrôle par les premiers termes : 2 ; 0{,}67 ; 0{,}22 ; 0{,}074 ; 0{,}025… La suite est divisée par 3 à chaque étape, et s'écrase vers 0 très vite ✓ ℹ️ Le facteur 2 ne change rien à la limite : il multiplie une quantité qui tend vers 0, donc le produit tend vers 0. Seule la raison décide.

   |1{3}| < 1 u_n = 0

3. Étape 3 : L'erreur classique : Regarder le signe de q au lieu de |q|. Pour q = -1{3}, la suite vaut 2 ; -0{,}67 ; 0{,}22 ; -0{,}074… Elle alterne, mais son amplitude est divisée par 3 à chaque fois : elle converge vers 0, exactement comme avec +1{3}. 👉 C'est précisément ce que la valeur absolue exprime : c'est la distance à zéro qui diminue, quel que soit le côté. À retenir : Tout se lit sur |q| : strictement inférieur à 1 convergence vers 0. 👉 Et le premier terme ne change jamais la limite d'une géométrique convergente : il ne fait que multiplier zéro.