Limite d'une suite arithmétique

Énoncé

Déterminer la limite de la suite (u_n) définie par u_n = 5 + 3n.

Indice : Identifie la raison de la suite arithmétique et applique le théorème sur les limites des suites arithmétiques.

Correction

1. Étape 1 : Une suite arithmétique ajoute la même quantité à chaque étape. Son comportement à l'infini se lit sur un seul nombre : la raison. Limite d'une suite arithmétique : u_n = u_0 + nr, de raison r : [formule] 👉 Il n'y a pas de troisième cas : une suite arithmétique non constante diverge toujours. Elle ne peut pas converger vers un nombre, puisqu'elle avance indéfiniment du même pas. ⚠️ Le premier terme u_0 n'a aucune influence sur la limite : il décale la suite, il ne change pas sa direction.
2. Étape 2 : u_n = 5 + 3n. On identifie la forme u_0 + nr : u_0 = 5 (le terme constant) et r = 3 (le coefficient de n) Comme r = 3 > 0 : [formule] 👉 Contrôle par les premiers termes : u_0 = 5, u_1 = 8, u_2 = 11, u_3 = 14. On ajoute bien 3 à chaque fois, donc la suite monte sans limite ✓

   r = 3 > 0 u_n = +

3. Étape 3 : L'erreur classique : Confondre suite arithmétique et géométrique. 5 + 3n ajoute 3 à chaque étape : c'est arithmétique, et le n est un facteur. 5 3^n multiplie par 3 : c'est géométrique, et le n est un exposant. Les deux divergent ici, mais pas du tout à la même vitesse — au rang 10, la première vaut 35, la seconde 295\,245. 👉 Le repère : n en facteur arithmétique · n en exposant géométrique. À retenir : Une suite arithmétique diverge toujours, sauf si r = 0. 👉 Et sa limite ne dépend que du signe de r — jamais du premier terme.