Application : distance parcourue

Énoncé

Un mobile se déplace selon la loi de vitesse v(t) = t^2 - 4t + 3 (en m/s) entre t = 0 et t = 4 secondes. Calculer la distance totale parcourue par le mobile.

Indice : La distance parcourue est _0^4 |v(t)| \, dt. Trouve où v change de signe, puis décompose l'intégrale.

Correction

  1. Étape 1 : Un problème de physique, mais mathématiquement identique aux 33009 et 33014 : la vitesse change de signe, donc le mobile fait demi-tour. Distance et déplacement : Distance parcourue = somme des chemins, tous comptés positivement ⟹ on découpe selon le signe. Déplacement = position finale moins initiale ⟹ intégrale simple, sans découpage.
  2. Étape 2 : On cherche où la vitesse s'annule, en factorisant :

    v(t) = t^2 - 4t + 3 = (t-1)(t-3)

  3. Étape 3 : Le signe sur les trois zones (règle du trinôme : signe de a à l'extérieur des racines) : sur [0\,;\,1] : v 0, le mobile avance · sur [1\,;\,3] : v 0, il recule · sur [3\,;\,4] : v 0, il avance de nouveau
  4. Étape 4 : Une primitive de la vitesse — c'est la position :

    V(t) = t^3{3} - 2t^2 + 3t

  5. Étape 5 : Ses valeurs aux quatre instants qui comptent :

    V(0) = 0 V(1) = 4{3} V(3) = 0 V(4) = 4{3}

  6. Étape 6 : La distance parcourue additionne les trois trajets, celui du milieu changé de signe :

    d = {4{3} - 0}_{[0;1]} \ -(0 - {4{3})}_{[1;3]} \ + {4{3} - 0}_{[3;4]} = 4{3} + 4{3} + 4{3} = 4

  7. Étape 7 : Le mobile parcourt donc 4 mètres.
  8. Étape 8 : Et voici ce que raconte l'exercice. Sans découpage, l'intégrale donnerait V(4) - V(0) = 4{3} mètre. Ce n'est pas une erreur : c'est le déplacement, la distance à vol d'oiseau entre le départ et l'arrivée. Le mobile a donc fait 4 mètres de chemin pour se retrouver à 1{,}33 mètre de son point de départ — parce qu'il a reculé entre t = 1 et t = 3, revenant exactement à sa position initiale (V(3) = V(0) = 0). Les deux questions se ressemblent et n'ont pas la même réponse : « Quelle distance a-t-il parcourue ? » 4 m, avec découpage. « De combien s'est-il déplacé ? » 4{3} m, sans découpage. Lire l'énoncé avant de choisir la méthode : c'est le mot « totale » qui, ici, impose le découpage. Le compteur et la boussole : La distance parcourue, c'est le compteur kilométrique d'une voiture : il ne descend jamais. Le déplacement, c'est la flèche du départ à l'arrivée. Faire le tour d'un rond-point donne un compteur qui tourne et un déplacement nul.