Application : distance parcourue

Énoncé

Un mobile se déplace selon la loi de vitesse v(t) = t^2 - 4t + 3 (en m/s) entre t = 0 et t = 4 secondes. Calculer la distance totale parcourue par le mobile.

Indice : La distance parcourue est _0^4 |v(t)| \, dt. Trouve où v change de signe, puis décompose l'intégrale.

Correction

1. Étape 1 : On factorise : v(t) = t^2 - 4t + 3 = (t-1)(t-3). Les zéros sont t = 1 et t = 3.
2. Étape 2 : Sur [0, 1] : v(t) 0, sur [1, 3] : v(t) 0, sur [3, 4] : v(t) 0.
3. Étape 3 : La distance totale est.

   d = _0^1 v(t) \, dt - _1^3 v(t) \, dt + _3^4 v(t) \, dt

4. Étape 4 : On calcule une primitive : V(t) = t^3{3} - 2t^2 + 3t.
5. Étape 5 : On calcule chaque intégrale.

   d = V(1) - V(0) - (V(3) - V(1)) + V(4) - V(3)

6. Étape 6 : On calcule : V(0) = 0, V(1) = 1{3} - 2 + 3 = 4{3}, V(3) = 9 - 18 + 9 = 0, V(4) = 64{3} - 32 + 12 = 4{3}.
7. Étape 7 : Donc d = 4{3} - 0 - (0 - 4{3}) + 4{3} - 0 = 4{3} + 4{3} + 4{3} = 4 mètres.