Aire avec fonction de signe variable

Énoncé

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de f(x) = x^3 - x, l'axe des abscisses et les droites x = -1 et x = 1.

Indice : Factorise f pour trouver ses zéros, puis décompose l'intervalle selon le signe de f.

Correction

1. Étape 1 : On factorise : f(x) = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1). Les zéros sont x = -1, x = 0 et x = 1.
2. Étape 2 : Sur [-1, 0] : f(x) 0, sur [0, 1] : f(x) 0.
3. Étape 3 : L'aire totale est.

   A = _{-1}^0 (x^3 - x) \, dx - _0^1 (x^3 - x) \, dx

4. Étape 4 : On calcule chaque intégrale.

   = [x^4{4} - x^2{2}]_{-1}^0 - [x^4{4} - x^2{2}]_0^1

5. Étape 5 : On simplifie.

   = (0 - (1{4} - 1{2})) - (1{4} - 1{2} - 0) = 1{4} - (-1{4}) = 1{2}