Aire avec fonction de signe variable

Énoncé

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de f(x) = x^3 - x, l'axe des abscisses et les droites x = -1 et x = 1.

Indice : Factorise f pour trouver ses zéros, puis décompose l'intervalle selon le signe de f.

Correction

  1. Étape 1 : Même situation qu'au 33009 : la fonction change de signe, donc l'intégrale ne donne plus l'aire directement. On factorise d'abord pour trouver les zéros, puis on découpe.
  2. Étape 2 : On factorise complètement :

    f(x) = x^3 - x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1)

  3. Étape 3 : Les zéros sont donc -1, 0 et 1. Le zéro intérieur à l'intervalle, ici 0, est celui qui impose le découpage.
  4. Étape 4 : Le signe sur chaque morceau. Sur [-1\,;\,0] : x 0 et x^2 - 1 0, donc leur produit est positif. Sur [0\,;\,1] : x 0 et x^2-1 0, donc le produit est négatif.
  5. Étape 5 : On écrit l'aire, en changeant le signe sur la seconde zone :

    A = _{-1}^{0}(x^3-x)dx \ -\ _{0}^{1}(x^3-x)dx

  6. Étape 6 : Une primitive :

    F(x) = x^4{4} - x^2{2}

  7. Étape 7 : Les deux morceaux, opposés l'un de l'autre par symétrie :

    _{-1}^{0} = 0 - (14 - 12) = 14 _{0}^{1} = (14 - 12) - 0 = -14

  8. Étape 8 : L'aire totale :

    A = 1{4} - (-1{4}) = 1{2}

  9. Étape 9 : Le contraste est ici maximal. Sans découpage, l'intégrale vaudrait _{-1}^{1}(x^3-x)dx = 1{4} - 1{4} = 0 — et l'on conclurait qu'il n'y a aucune aire, alors qu'elle vaut 1{2}. La raison est la symétrie : la fonction est impaire, donc les deux bosses sont exactement opposées et se compensent dans l'intégrale, jamais dans l'aire. Une intégrale nulle ne veut pas dire une aire nulle : C'est le piège le plus coûteux du chapitre, et il ne se voit PAS dans le résultat : 0 est un nombre parfaitement crédible. Seule l'étude du signe le prévient. Devant toute demande d'AIRE, chercher les zéros de f à l'intérieur de l'intervalle est un réflexe obligatoire. Le contrôle qui ne trompe pas : Une aire est strictement positive dès que la fonction n'est pas identiquement nulle. Trouver 0, ou un nombre négatif, prouve qu'on a oublié un changement de signe.