Intégrale avec exponentielle composée

Énoncé

Calculer : [formule]

Indice : Reconnais la forme u'(x) e^{u(x)} avec u(x) = x^3.

Correction

1. Étape 1 : Même forme composée qu'au 33006, cette fois dans une intégrale. On reconnaît la structure, on écrit la primitive, on évalue aux bornes.
2. Étape 2 : On identifie l'intérieur et sa dérivée :

   u(x) = x^3 u'(x) = 3x^2

3. Étape 3 : Le facteur devant l'exponentielle est exactement u' — c'est 3x^2 — donc la primitive est immédiate :

   F(x) = e^{x^3}

4. Étape 4 : On évalue aux bornes :

   _0^1 3x^2 e^{x^3}dx = [e^{x^3}]_0^1 = e^{1} - e^{0} = e - 1

5. Étape 5 : Contrôle. e - 1 1{,}72. Sur [0\,;\,1], la fonction 3x^2e^{x^3} vaut 0 en 0 et 3e 8{,}15 en 1 : une aire de l'ordre de 1{,}7 sur un intervalle de largeur 1 est plausible, la fonction restant petite sur la plus grande partie de l'intervalle. e^{x^3} n'est pas (e^x)^3 : (e^x)^3 = e^{3x}, ce qui est tout autre chose. L'exposant x^3 est l'INTÉRIEUR de la composition ; il ne se sort pas comme un facteur de puissance. La reconnaissance vaut mieux que la recherche : Devant u'\,e^{u}, la réponse est e^u — on ne cherche pas, on reconnaît. Et s'il manque un coefficient, on l'ajuste : x^2 e^{x^3}dx vaudrait 1{3}e^{x^3}, puisqu'il manque le facteur 3.