Aire avec courbes qui se croisent

Énoncé

Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes y = x^2 et y = 2x.

Indice : Trouve d'abord les points d'intersection, puis détermine quelle fonction est au-dessus sur chaque intervalle.

Correction

1. Étape 1 : Contrairement au 33008, les bornes ne sont pas données : ce sont les points où les deux courbes se croisent. Il faut donc commencer par les chercher.
2. Étape 2 : Les intersections s'obtiennent en égalant les deux expressions :

   x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x-2) = 0

3. Étape 3 : D'où les deux bornes :

   x = 0 x = 2

4. Étape 4 : Qui est au-dessus ? On étudie le signe de la différence sur [0\,;\,2] :

   2x - x^2 = x(2-x) 0 car les deux facteurs sont positifs

5. Étape 5 : La droite y = 2x est donc au-dessus. On intègre la différence :

   A = _0^2 (2x - x^2)\,dx = [x^2 - x^3{3}]_0^2 = 4 - 8{3} = 4{3}

6. Étape 6 : Contrôle. L'aire du triangle sous la droite vaut 2 4{2} = 4, et celle sous la parabole 8{3} 2{,}67 (c'est le 33005). Leur différence est bien 4{3} 1{,}33. Ne jamais choisir les bornes à vue : Lire « entre 0 et 2 » sur un dessin est une conjecture ; résoudre x^2 = 2x est une preuve. Et la question de savoir quelle courbe est au-dessus se tranche par le SIGNE de la différence, pas par l'allure — sur un autre intervalle, l'ordre s'inverserait. La méthode complète, en quatre gestes : 1. égaler pour trouver les bornes · 2. étudier le signe de la différence · 3. intégrer « haut moins bas » · 4. vérifier que le résultat est positif. Le quatrième est gratuit et attrape l'inversion la plus fréquente.