Intégrale avec fonction rationnelle

Énoncé

Calculer : [formule]

Indice : Simplifie d'abord la fraction en décomposant : x^2 + 1{x^2} = 1 + 1{x^2}.

Correction

1. Étape 1 : La fonction n'est pas dans la liste des primitives usuelles, mais elle s'y ramène : une fraction dont le dénominateur est un simple x^2 se coupe en deux morceaux, chacun connu. Le réflexe est donc : simplifier AVANT d'intégrer, jamais l'inverse.
2. Étape 2 : On sépare la fraction, en divisant chaque terme du numérateur par le dénominateur :

   x^2+1{x^2} = x^2{x^2} + 1{x^2} = 1 + 1{x^2}

3. Étape 3 : On intègre chaque morceau. Le second est celui du 33001 b) :

   _1^2 1\,dx = [x]_1^2 = 1 _1^2 1{x^2}dx = [-1{x}]_1^2

4. Étape 4 : Le second morceau, en évaluant aux bornes :

   (-1{2}) - (-1) = -1{2} + 1 = 1{2}

5. Étape 5 : On additionne :

   _1^2 x^2+1{x^2}dx = 1 + 1{2} = 3{2}

6. Étape 6 : Contrôle d'ordre de grandeur. Sur [1\,;\,2], la fonction vaut 2 en 1 et 1{,}25 en 2 : elle reste entre 1{,}25 et 2 sur un intervalle de largeur 1. Le résultat doit donc être entre ces deux nombres, et 1{,}5 y est. On ne coupe une fraction que par son NUMÉRATEUR : a+b{c} = a{c} + b{c} est vrai. Mais a{b+c} a{b} + a{c} : couper par le dénominateur est faux. Ici c'est le numérateur x^2 + 1 qu'on sépare, et c'est légitime. Il n'existe pas de « primitive d'un quotient » : Aucune règle ne donne la primitive de f{g} à partir de celles de f et g. Devant une fraction, la seule voie est donc de la transformer — séparer, simplifier, ou reconnaître une forme composée comme au 33006.