Valeur moyenne d'une fonction

Énoncé

Calculer la valeur moyenne de la fonction f(x) = x^2 sur l'intervalle [0, 3].

Indice : Utilise la formule : valeur moyenne = 1{b-a} _a^b f(x) \, dx.

Correction

1. Étape 1 : La valeur moyenne d'une fonction est le nombre par lequel on pourrait la remplacer sans changer l'aire. D'où sa définition : l'aire, divisée par la largeur. Valeur moyenne : = 1{b-a}_a^b f(x)\,dx
2. Étape 2 : On calcule l'intégrale :

   _0^3 x^2\,dx = [x^3{3}]_0^3 = 9

3. Étape 3 : On divise par la largeur de l'intervalle, ici 3 - 0 = 3 :

   = 1{3} 9 = 3

4. Étape 4 : Interprétation géométrique. Le rectangle de base [0\,;\,3] et de hauteur 3 a pour aire 3 3 = 9 : exactement l'aire sous la parabole. La valeur moyenne est donc la hauteur du rectangle équivalent.
5. Étape 5 : Contrôle par le bon sens. Sur [0\,;\,3], x^2 varie de 0 à 9. Une moyenne de 3 est donc plausible — et plus proche du bas que du haut, ce qui est normal puisque la fonction passe l'essentiel de l'intervalle à de petites valeurs. Ce n'est pas la moyenne des valeurs aux bornes : f(0) + f(3){2} = 0+9{2} = 4{,}5, et ce n'est PAS la valeur moyenne. Cette formule ne vaut que pour une fonction affine, dont la courbe est une droite. Pour une parabole, il faut vraiment intégrer. Un encadrement immédiat : La valeur moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de la fonction sur l'intervalle. Ici entre 0 et 9 : trouver 12 ou -1 signalerait une erreur sans autre calcul.