Intégrale avec changement de signe

Énoncé

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de f(x) = x^2 - 1, l'axe des abscisses et les droites x = -1 et x = 2.

Indice : Détermine où f change de signe, puis décompose l'intégrale en tenant compte des signes.

Correction

1. Étape 1 : Les zéros de f sont x = -1 et x = 1. Sur [-1, 1] : f(x) 0, sur [1, 2] : f(x) 0.
2. Étape 2 : L'aire totale est la somme des aires sur chaque intervalle.

   A = -_{-1}^1 (x^2 - 1) \, dx + _1^2 (x^2 - 1) \, dx

3. Étape 3 : On calcule chaque intégrale.

   = -[x^3{3} - x]_{-1}^1 + [x^3{3} - x]_1^2

4. Étape 4 : On simplifie.

   = -(1{3} - 1 - (-1{3} + 1)) + (8{3} - 2 - (1{3} - 1)) = 4{3} + 4{3} = 8{3}