Intégrale avec changement de signe

Énoncé

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de f(x) = x^2 - 1, l'axe des abscisses et les droites x = -1 et x = 2.

Indice : Détermine où f change de signe, puis décompose l'intégrale en tenant compte des signes.

Correction

  1. Étape 1 : La fonction change de signe sur l'intervalle : le lien « intégrale = aire » du 33005 ne s'applique donc plus directement. Pourquoi un signe moins : Sur une zone où f 0, l'intégrale est NÉGATIVE — elle compte l'aire « en dessous » avec un signe moins. Une aire, elle, est toujours positive. On prend donc l'OPPOSÉ de l'intégrale sur ces zones.
  2. Étape 2 : On découpe selon le signe. f(x) = x^2 - 1 s'annule en -1 et 1 : sur [-1\,;\,1], f(x) 0 (la parabole est sous l'axe) · sur [1\,;\,2], f(x) 0
  3. Étape 3 : On écrit l'aire en changeant le signe sur la zone négative :

    A = -_{-1}^{1} (x^2-1)\,dx \ +\ _{1}^{2} (x^2-1)\,dx

  4. Étape 4 : Une primitive commune aux deux morceaux :

    F(x) = x^3{3} - x

  5. Étape 5 : Premier morceau :

    _{-1}^{1}(x^2-1)dx = (1{3}-1) - (-1{3}+1) = -2{3} - 2{3} = -4{3}

  6. Étape 6 : L'intégrale est bien négative, comme annoncé. Son opposé donne l'aire de cette zone : 4{3}.
  7. Étape 7 : Second morceau, où la fonction est positive :

    _{1}^{2}(x^2-1)dx = (8{3}-2) - (1{3}-1) = 2{3} + 2{3} = 4{3}

  8. Étape 8 : L'aire totale :

    A = 4{3} + 4{3} = 8{3}

  9. Étape 9 : Ce que donnerait l'intégrale SANS découpage, pour bien voir la différence : _{-1}^{2}(x^2-1)dx = -4{3} + 4{3} = 0. Les deux zones se compensent exactement, et l'on conclurait à une aire nulle — ce qui est manifestement faux. Le signe se lit sur la fonction, pas sur les bornes : Ce n'est pas parce qu'on intègre « de -1 à 1 » que le résultat est négatif : c'est parce que la FONCTION y est négative. Étudier le signe de f AVANT de découper est donc obligatoire — c'est lui qui dit où placer les signes moins. La méthode en trois gestes, valable partout : 1. trouver les zéros de f · 2. dresser le signe sur chaque intervalle · 3. intégrer, en changeant le signe là où f est négative. Les exercices 33014 et 33015 sont exactement le même travail.