Aire entre deux courbes

Énoncé

Calculer l'aire de la région délimitée par les courbes y = x^2 et y = x entre x = 0 et x = 1.

Indice : Détermine quelle fonction est au-dessus de l'autre sur [0, 1], puis calcule _0^1 |f(x) - g(x)| \, dx.

Correction

  1. Étape 1 : Pour une aire entre DEUX courbes, on intègre la différence — celle du haut moins celle du bas. Savoir laquelle est au-dessus est donc la première question, et elle ne se devine pas. Aire entre deux courbes : Si g(x) f(x) sur [a\,;\,b] : A = _a^b (g(x) - f(x))\,dx
  2. Étape 2 : Qui est au-dessus ? On étudie le signe de la différence, en la factorisant :

    x - x^2 = x(1 - x)

  3. Étape 3 : Sur [0\,;\,1], les deux facteurs x et 1-x sont positifs, donc leur produit l'est aussi : la droite y = x est au-dessus de la parabole.
  4. Étape 4 : On intègre la différence :

    A = _0^1 (x - x^2)\,dx = [x^2{2} - x^3{3}]_0^1 = 1{2} - 1{3} = 1{6}

  5. Étape 5 : Contrôle. Le triangle sous la droite, de sommets (0,0), (1,0), (1,1), a pour aire 1{2} ; l'aire sous la parabole vaut 1{3}. Leur différence est bien 1{6}, et ce résultat est positif comme doit l'être une aire. Se tromper de sens donne l'OPPOSÉ : Intégrer x^2 - x au lieu de x - x^2 rend -1{6}. Une aire négative est impossible : c'est le signal qu'on a inversé les deux courbes. Le résultat est alors sa valeur absolue, mais mieux vaut poser la différence dans le bon sens dès le départ. La formule marche même sous l'axe : Si les deux courbes sont négatives, la différence « haut moins bas » reste positive et donne toujours l'aire. C'est pourquoi cette méthode est plus sûre que « aire du haut moins aire du bas », qui suppose les deux positives.