Intégrale avec linéarité

Énoncé

Calculer : [formule]

Indice : Décompose l'intégrale en utilisant la linéarité.

Correction

1. Étape 1 : Quatre termes, mais une seule idée : l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, et les coefficients se sortent. On peut donc traiter chaque morceau à part — ou, plus court, prendre une primitive du tout.
2. Étape 2 : Par linéarité, en sortant chaque coefficient :

   _0^1 (4x^3 - 3x^2 + 2x - 1)\,dx = 4\!_0^1\! x^3 dx - 3\!_0^1\! x^2 dx + 2\!_0^1\! x\, dx - \!_0^1\! 1\, dx

3. Étape 3 : Chaque morceau se calcule séparément :

   _0^1 x^3 dx = 1{4} _0^1 x^2 dx = 1{3} _0^1 x\,dx = 1{2} _0^1 1\,dx = 1

4. Étape 4 : On rassemble. Chaque coefficient annule exactement le dénominateur qui lui fait face :

   4 1{4} - 3 1{3} + 2 1{2} - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0

5. Étape 5 : La voie directe donne la même chose, en une ligne : une primitive est x^4 - x^3 + x^2 - x, qui vaut 1 - 1 + 1 - 1 = 0 en 1 et 0 en 0. Même résultat, moins d'écriture.
6. Étape 6 : Un résultat nul ne veut pas dire une aire nulle. La fonction change de signe sur [0\,;\,1] : les parties au-dessus et au-dessous de l'axe se compensent exactement. L'intégrale les additionne avec leur signe, l'aire non — c'est toute la distinction du 33009. Ne pas oublier le dernier terme : _0^1 1\,dx = 1 et non 0 : la primitive de la constante 1 est x, qui vaut 1 en 1. Ce terme s'oublie parce qu'il ne « ressemble » pas aux autres, et l'oublier donnerait 1 au lieu de 0. Une primitive du tout est souvent plus rapide : Décomposer est utile pour comprendre, mais dès qu'on est à l'aise, écrire directement [x^4 - x^3 + x^2 - x]_0^1 évite quatre calculs séparés — et quatre occasions de se tromper.