Primitive avec fonction composée

Énoncé

Trouver une primitive de : [formule]

Indice : Reconnais la forme u'(x) e^{u(x)} avec u(x) = x^2.

Correction

1. Étape 1 : La fonction n'est pas dans la liste des primitives usuelles, mais elle a une forme reconnaissable : quelque chose composé avec l'exponentielle, multiplié par la dérivée de ce quelque chose. Primitive d'une composée : u'(x)\,e^{u(x)} a pour primitive e^{u(x)} C'est la dérivation de e^u lue à l'envers, puisque (e^u)' = u'e^u.
2. Étape 2 : On identifie u. L'exposant de l'exponentielle est x^2, donc :

   u(x) = x^2 u'(x) = 2x

3. Étape 3 : On vérifie que le facteur devant est exactement u'. Ici f(x) = 2x\,e^{x^2}, et 2x est bien u'(x) : la forme est complète.
4. Étape 4 : D'où la primitive :

   F(x) = e^{x^2}

5. Étape 5 : Vérification par dérivation, comme toujours : (e^{x^2})' = 2x\,e^{x^2} ✓. Le facteur doit être EXACTEMENT u', ou proportionnel à lui : Pour x\,e^{x^2}, il manque un facteur 2 : la primitive est alors 1{2}e^{x^2}, et non e^{x^2}. Pour x^2 e^{x^2}, en revanche, il n'y a rien à faire — x^2 n'est pas proportionnel à 2x, et cette fonction n'a pas de primitive exprimable simplement. La méthode se résume à trois questions : 1. quel est l'intérieur, u ? · 2. que vaut u' ? · 3. le facteur devant est-il u', ou u' à un coefficient près ? Si oui, la primitive est immédiate. Sinon, l'exercice attend autre chose.