Aire sous une courbe simple

Énoncé

Calculer l'aire de la région délimitée par la courbe de f(x) = x^2, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 2.

Indice : Comme f(x) 0 sur [0, 2], l'aire est égale à l'intégrale.

Correction

1. Étape 1 : Le lien entre intégrale et aire n'est valable que si la fonction est positive sur l'intervalle. La première chose à faire est donc de vérifier ce signe — c'est ce qui rendra les exercices 33009 et 33014 plus délicats. Intégrale et aire : Si f(x) 0 sur [a\,;\,b], alors _a^b f(x)\,dx est l'AIRE comprise entre la courbe et l'axe des abscisses.
2. Étape 2 : On vérifie le signe. Un carré est toujours positif, donc f(x) = x^2 0 sur [0\,;\,2] — l'aire est bien égale à l'intégrale.
3. Étape 3 : On calcule :

   A = _0^2 x^2\,dx = [x^3{3}]_0^2 = 8{3} - 0 = 8{3}

4. Étape 4 : L'aire vaut 8{3} 2{,}67 unités d'aire — c'est-à-dire en prenant pour unité le carré construit sur les unités des deux axes. Si l'axe des abscisses est gradué en centimètres et celui des ordonnées aussi, cela fait 2{,}67 cm².
5. Étape 5 : Contrôle par encadrement. Sur [0\,;\,2] on a x^2 2x, car x^2 - 2x = x(x-2) 0 : la région est donc contenue dans le triangle de sommets (0,0), (2,0) et (2,4), dont l'aire vaut 2 4{2} = 4. On attend donc un résultat compris entre 0 et 4, et 8{3} 2{,}67 y est bien. Sans la vérification de signe, le résultat n'est pas une aire : Si f est négative quelque part, l'intégrale compte cette partie NÉGATIVEMENT et ne donne plus l'aire — voir 33014, où l'intégrale vaut 0 pour une aire de 1{2}. La phrase « comme f 0 sur l'intervalle » n'est donc pas une formule de politesse : c'est la condition qui rend le calcul valide. Toujours encadrer avant de calculer : Un rectangle qui contient la région, un triangle qui y est contenu, et l'on connaît l'ordre de grandeur. Une aire négative, ou plus grande que le rectangle englobant, signale une erreur sans qu'on ait à refaire le calcul.