Intégrale d'une fonction puissance

Énoncé

Calculer : [formule]

Indice : Utilise la formule : une primitive de x^n est x^{n+1}{n+1}.

Correction

1. Étape 1 : Application directe de la formule des puissances. Le seul risque est d'oublier de diviser par le nouvel exposant.
2. Étape 2 : La primitive, en augmentant l'exposant de 1 puis en divisant par ce nouvel exposant :

   x^3 \ \ x^4{4}

3. Étape 3 : On évalue aux bornes :

   _1^3 x^3\,dx = [x^4{4}]_1^3 = 81{4} - 1{4} = 80{4} = 20

4. Étape 4 : Contrôle d'ordre de grandeur. Sur [1\,;\,3], x^3 varie de 1 à 27 ; l'aire d'un rectangle de largeur 2 et de hauteur moyenne 10 vaut environ 20. Le résultat est plausible. Augmenter l'exposant ET diviser : x^3 donne x^4{4}, jamais x^4 seul. Le contrôle par dérivation le montre en une ligne : (x^4)' = 4x^3, ce qui est quatre fois trop. La règle en une phrase : « On monte l'exposant d'un cran, et on divise par le cran atteint. » Elle vaut pour tout n -1 — y compris négatif, comme au 33001 b) où x^{-2} donne x^{-1}{-1}.