Primitive avec condition initiale

Énoncé

Trouver la primitive F de f(x) = 3x^2 telle que F(1) = 5.

Indice : Trouve d'abord toutes les primitives, puis utilise la condition F(1) = 5 pour déterminer la constante.

Correction

1. Étape 1 : Deux temps : d'abord TOUTES les primitives, qui forment une famille à une constante près ; ensuite on choisit celle qui vérifie la condition imposée. C'est cette condition qui fixe la constante.
2. Étape 2 : Toutes les primitives de 3x^2 s'écrivent :

   F(x) = x^3 + C

3. Étape 3 : On impose la condition F(1) = 5, ce qui donne une équation en C :

   1^3 + C = 5 C = 4

4. Étape 4 : La primitive cherchée est donc unique :

   F(x) = x^3 + 4

5. Étape 5 : Double vérification, l'une sur la dérivée et l'autre sur la condition : F'(x) = 3x^2 ✓ et F(1) = 1 + 4 = 5 ✓. Les deux sont nécessaires — une seule ne prouve que la moitié. C'est ici, et seulement ici, que la constante compte : Dans un calcul d'intégrale (33002), elle s'élimine. Dans une primitive à condition initiale, elle est tout l'enjeu : sans elle, il y aurait une infinité de réponses. Répondre F(x) = x^3 ignore la condition et rate la question. La condition sert TOUJOURS à trouver C : Une fois la famille écrite, on remplace x par la valeur donnée, on égale au résultat imposé, on résout. Une seule condition, une seule constante : le système est toujours immédiat.