Calculer une intégrale simple

Énoncé

Calculer l'intégrale suivante : [formule]

Indice : Trouve une primitive de 2x + 3, puis calcule la différence aux bornes.

Correction

1. Étape 1 : Calculer une intégrale se fait en deux temps, toujours les mêmes : trouver une primitive, puis soustraire ses valeurs aux bornes. Le calcul d'une intégrale : _a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), où F est une primitive quelconque de f
2. Étape 2 : Une primitive de 2x + 3, terme par terme :

   F(x) = x^2 + 3x

3. Étape 3 : On évalue aux deux bornes. La notation entre crochets signifie exactement « F(2) moins F(0) » :

   _0^2 (2x+3)\,dx = [x^2 + 3x]_0^2 = (4 + 6) - (0 + 0) = 10

4. Étape 4 : Contrôle géométrique. La fonction 2x+3 est positive sur [0\,;\,2], donc l'intégrale est l'aire sous la droite : un trapèze de bases 3 et 7, de hauteur 2. Son aire vaut (3+7) 2{2} = 10. Le compte est bon. La constante ne sert à rien ici : Avec F(x) = x^2 + 3x + C, on obtiendrait (10 + C) - (0 + C) = 10 : la constante s'élimine dans la soustraction. Inutile donc de la traîner dans un calcul d'intégrale — elle ne compte que pour une primitive à condition initiale (exercice 33003). L'ordre de la soustraction n'est pas indifférent : C'est F(b) - F(a), la borne du HAUT moins celle du bas. L'inverser change le signe du résultat, ce qui donnerait ici -10 — impossible pour une aire sous une courbe positive.