Trouver des primitives simples

Énoncé

Trouver une primitive de chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = 3x^2 + 2x - 1 b) g(x) = 1{x^2} c) h(x) = e^x + 5

Indice : Utilise le tableau des primitives usuelles et la linéarité des primitives.

Correction

1. Étape 1 : Chercher une primitive, c'est remonter la dérivation : on cherche F telle que F' = f. Le réflexe est donc de se demander « qu'est-ce qui, dérivé, donne cela ? », puis de VÉRIFIER en dérivant. Les primitives de référence : x^n \ \ x^{n+1}{n+1} (pour n -1) e^x \ \ e^x · une constante k \ \ kx
2. Étape 2 : a) On traite chaque terme séparément, car la primitive d'une somme est la somme des primitives :

   3x^2 x^3 2x x^2 -1 -x

3. Étape 3 : D'où :

   F(x) = x^3 + x^2 - x

4. Étape 4 : b) On réécrit d'abord en puissance, ce qui ramène au cas connu :

   1{x^2} = x^{-2} \ \ x^{-1}{-1} = -1{x}

5. Étape 5 : c) L'exponentielle est sa propre primitive, et 5 est une constante :

   H(x) = e^x + 5x

6. Étape 6 : Vérification par dérivation — c'est le contrôle le plus rentable du chapitre, et il est infaillible : (x^3 + x^2 - x)' = 3x^2 + 2x - 1 ✓, (-1{x})' = 1{x^2} ✓, (e^x + 5x)' = e^x + 5 ✓. « Une » primitive ou « les » primitives ? : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, car la dérivée d'une constante est nulle. L'énoncé demande UNE primitive : F(x) = x^3 + x^2 - x suffit. Écrire « +\,C » répond à une autre question — celle de TOUTES les primitives. Ne jamais chercher, toujours vérifier : On propose une primitive, on la dérive, on compare. En dix secondes on sait si elle est bonne. C'est la seule matière où la réponse se contrôle intégralement soi-même — il n'y a aucune raison de rendre une primitive fausse.