Dérivée seconde et convexité
Énoncé
Calculer la dérivée seconde de f(x) = (x^2 + 1) et en déduire la convexité de f.
Indice : Calcule d'abord f' en utilisant la dérivation composée, puis f'' en utilisant le quotient. Le signe de f'' donne la convexité.
Correction
- Étape 1 : Une dérivée seconde, donc deux dérivations successives — et le passage par un quotient à la seconde étape.
Convexité et dérivée seconde :
f'' > 0 convexe · f'' < 0 concave · f'' change de signe point d'inflexion
👉 Ne pas confondre avec les variations : f' dit si la courbe monte, f'' si elle se creuse. Les deux questions sont indépendantes.
⚠️ Et la dérivée seconde exige de dériver une fraction — c'est là que se concentrent les erreurs de signe.
- Étape 2 : La dérivée première. u(x) = x^2+1, u'(x) = 2x :
[formule]
La dérivée seconde. On applique la formule du quotient à f', avec :
U = 2x U' = 2
V = x^2+1 V' = 2x
[formule]
f''(x) = 2(x^2+1) - 4x^2{(x^2+1)^2}
- Étape 3 : On développe et l'on simplifie le numérateur :
2(x^2+1) - 4x^2 = 2x^2 + 2 - 4x^2 = 2 - 2x^2
On factorise par 2 :
[formule]
Le signe. Le dénominateur est un carré, donc strictement positif, et 2 > 0. Le signe de f'' est donc celui de 1 - x^2 = (1-x)(1+x) :
trinôme de racines -1 et 1, à coefficient dominant négatif positif ENTRE les racines.
f''(x) = 2(1-x^2){(x^2+1)^2}
- Étape 4 : La conclusion :
| x | - | | -1 | | 1 | | + |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f'' | | - | 0 | + | 0 | - | |
| f | | concave | | convexe | | concave | |
f est convexe sur ]-1\,;1[ et concave ailleurs.
Deux points d'inflexion en x = -1 et x = 1, où f'' change bien de signe. Leur ordonnée commune :
f( 1) = (1+1) = 2 0{,}693
👉 La même ordonnée pour les deux, parce que f est paire (f(-x) = f(x), puisque x^2 ne change pas). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Contrôle numérique : f''(0) = 2 1{1} = 2 > 0 ✓ (convexe au centre) et f''(2) = 2(1-4){25} = -0{,}24 < 0 ✓
inflexions en ( 1\,; 2)
- Étape 5 : L'erreur classique :
Confondre les variations et la convexité.
Cette fonction décroît puis croît (minimum en 0, vu en 32007), et elle est convexe puis concave — les deux découpages ne coïncident pas du tout. Sur ]-1\,;0[, elle décroît en étant convexe : elle descend en ralentissant.
👉 Deux dérivées, deux questions : f' pour le sens, f'' pour la courbure.
À retenir :
f'' se calcule en dérivant f' — souvent un quotient, donc attention aux signes.
👉 Et une fonction paire a ses points d'inflexion par paires symétriques, de même ordonnée : un seul calcul pour les deux.