Dérivée seconde et convexité

Énoncé

Calculer la dérivée seconde de f(x) = (x^2 + 1) et en déduire la convexité de f.

Indice : Calcule d'abord f' en utilisant la dérivation composée, puis f'' en utilisant le quotient. Le signe de f'' donne la convexité.

Correction

1. Étape 1 : **Dérivée première** : On pose u(x) = x^2 + 1, donc u'(x) = 2x.
2. Étape 2 : Donc :

   f'(x) = 2x{x^2 + 1}

3. Étape 3 : **Dérivée seconde** : On dérive f' en utilisant le quotient avec u(x) = 2x et v(x) = x^2 + 1.
4. Étape 4 : u'(x) = 2 et v'(x) = 2x.
5. Étape 5 : On applique la formule du quotient :

   f''(x) = 2 (x^2 + 1) - 2x 2x{(x^2 + 1)^2}

6. Étape 6 : On simplifie :

   f''(x) = 2x^2 + 2 - 4x^2{(x^2 + 1)^2} = 2 - 2x^2{(x^2 + 1)^2} = 2(1 - x^2){(x^2 + 1)^2}

7. Étape 7 : **Convexité** : Le signe de f'' est celui de (1 - x^2) car (x^2 + 1)^2 > 0.
8. Étape 8 : - Pour |x| < 1 : f''(x) > 0 → fonction **convexe**
9. Étape 9 : - Pour |x| > 1 : f''(x) < 0 → fonction **concave**