Résoudre une équation exponentielle complexe

Énoncé

Résoudre l'équation 3^{2x+1} = 27.

Indice : Prends le logarithme népérien, puis simplifie en utilisant 27 = 3^3.

Correction

1. Étape 1 : Même méthode qu'en 32010, avec un exposant plus complexe — ce qui ne change rien à la démarche. 👉 On applique aux deux membres, on fait descendre l'exposant en entier (parenthèses comprises), puis on résout une équation du premier degré. ⚠️ Les parenthèses autour de 2x+1 sont indispensables : (3^{2x+1}) = (2x+1) 3, et non 2x + 1 3. C'est l'exposant complet qui descend.
2. Étape 2 : 3^{2x+1} = 27. On applique : (3^{2x+1}) = (27) On fait descendre l'exposant entier : (2x+1)(3) = (27) On reconnaît 27 = 3^3, donc (27) = 3(3) : [formule]

   (2x+1) 3 = 3 3

3. Étape 3 : On divise par (3), qui est non nul (car 3 1) : 2x + 1 = 3 2x = 2 [formule] Vérification : 3^{2 1 + 1} = 3^3 = 27 ✓ 👉 La division par 3 mérite d'être justifiée : (a) = 0 uniquement pour a = 1. Ici 3 1{,}099 0, donc la simplification est licite. C'est un détail, mais il fait partie de la rédaction attendue — diviser par une quantité sans avoir vérifié qu'elle n'est pas nulle est une faute de raisonnement.

   x = 1

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier les parenthèses et écrire 2x + 3 = 3 3. On obtiendrait 2x = 2 3, soit x = 3 1{,}099 — un résultat plausible et faux. La vérification le démasque : 3^{2 3 + 1} 3^{3{,}197} 33{,}9 27. 👉 C'est l'exposant COMPLET qui descend, comme un bloc. Écrire les parenthèses avant de faire quoi que ce soit d'autre. À retenir : (a^{E}) = E a, où E est l'exposant entier, parenthèses comprises. 👉 Et justifier la division par a : elle n'est licite que si a 1.