Résoudre une inéquation logarithmique

Énoncé

Résoudre l'inéquation (x + 1) < (2x - 3).

Indice : Utilise la croissance de la fonction logarithme, puis résous l'inéquation obtenue. N'oublie pas les conditions d'existence.

Correction

1. Étape 1 : Une inéquation, dont la structure est identique à l'équation de 32003 — mais dont la solution est différente, et c'est instructif. est strictement croissant : [formule] 👉 Croissant, donc le sens de l'inégalité se conserve. ⚠️ Et la solution finale est l'INTERSECTION de ce que donne le calcul et du domaine — deux ensembles, pas un. C'est là que se joue l'exercice.
2. Étape 2 : Le domaine, identique à celui de 32003 : x+1 > 0 et 2x-3 > 0, donc [formule] La résolution. Par croissance de : (x+1) < (2x-3) x+1 < 2x-3 1 + 3 < 2x - x [formule]

   x > 4 et x > 3{2}

3. Étape 3 : L'intersection : [formule] [formule] 👉 Ici le domaine n'ajoute rien, puisque 4 > 3{2} : la condition du calcul est déjà plus forte. Mais il fallait le vérifier, pas le supposer. ℹ️ Le lien avec 32003 : l'équation (x+1) = (2x-3) avait pour solution x = 4. C'est exactement la borne de l'inéquation — ce qui est logique, puisque c'est le point où les deux membres s'égalisent. Et le sens de l'inéquation dit de quel côté : pour x > 4, on a 2x-3 qui dépasse x+1, donc son logarithme aussi.

   S = \,]4\,;+[

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier de croiser avec le domaine. Ici cela ne changerait rien, mais changeons l'inéquation en (x+1) > (2x-3) : le calcul donne x < 4, et l'intersection avec x > 3{2} donne ]3{2}\,;4[ — un intervalle borné des deux côtés, alors que le calcul seul aurait donné ]-\,;4[, où le logarithme n'existe même pas. 👉 Toujours écrire l'intersection, même quand on soupçonne qu'elle ne changera rien. À retenir : est croissant : le sens se conserve. 👉 Et la solution est l'intersection du résultat du calcul avec le domaine. La borne de l'inéquation est la solution de l'équation correspondante.