Étude complète d'une fonction avec logarithme

Énoncé

Étudier complètement la fonction f(x) = x (x) sur ]0, +[ : dérivée, variations, limites.

Indice : Calcule f' en utilisant le produit, puis étudie son signe. Pour les limites, utilise les croissances comparées.

Correction

1. Étape 1 : L'étude complète de x x — l'une des fonctions les plus employées de l'analyse. 👉 Le seul point délicat est la limite en 0^+ : c'est une forme indéterminée 0 (-), qui ne se conclut pas au jugé. Elle relève d'un théorème de croissance comparée qu'il faut nommer. Croissance comparée en 0 : [formule] ℹ️ Ce résultat dit que x « gagne » contre x : le facteur qui tend vers 0 l'emporte sur celui qui part vers -. C'est cohérent avec la lenteur du logarithme, déjà constatée ailleurs.
2. Étape 2 : Le domaine : D_f = \,]0\,;+[, imposé par le logarithme. La dérivée (produit, calculée en 32006) : [formule] Le signe : f'(x) = 0 (x) = -1 x = e^{-1} = 1{e} 0{,}368 Comme est croissante, (x) + 1 est négatif avant 1{e} et positif après.

   f'(x) = (x)+1 \ ; f'(x) = 0 x = 1{e}

3. Étape 3 : Le minimum. En x = 1{e} : f\!(1{e}) = 1{e} \!(1{e}) = 1{e} (-1) [formule] 👉 Le calcul emploie \!(1{e}) = (e^{-1}) = -1. Un fait remarquable : l'abscisse du minimum (1{e}) et sa valeur (-1{e}) sont opposées. Ce n'est pas un hasard — c'est une conséquence directe de f(x) = x x évalué en e^{-1}.

   f = f\!(1{e}) = -1{e}

4. Étape 4 : Les limites. En 0^+ : forme 0 (-), indéterminée. On applique le théorème de croissance comparée : [formule] ⚠️ Ne pas conclure au jugé : les deux facteurs tirent en sens opposés, et c'est précisément ce qui rend la limite indéterminée. Seul le théorème tranche. En + : x + et x +. Aucune indétermination — les deux facteurs vont dans le même sens : [formule]

   _{0^+} f = 0 \ ; _{+} f = +

5. Étape 5 : Le tableau : | x | 0 | | 1{e} | | + | |:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | - | 0 | + | | | f | 0 | | -1{e} | | + | 👉 La courbe part de 0, plonge jusqu'à -0{,}368, puis remonte indéfiniment. Elle est donc négative sur ]0\,;1[ (où x < 0) et positive au-delà — ce qui se vérifie directement, x x étant du signe de x pour x > 0. ℹ️ Cette fonction gouverne le coût des algorithmes de tri efficaces, en n n : trier un million d'éléments coûte environ 14 millions d'opérations, là où une méthode naïve en n^2 en demanderait mille milliards. L'erreur classique : Écrire _{x 0^+} x(x) = - parce que x -. C'est traiter une forme indéterminée comme si elle ne l'était pas. Le facteur x tend vers 0, et il gagne — c'est exactement ce que dit le théorème. À retenir : _{x 0^+} x x = 0 : x l'emporte sur x. 👉 Et nommer la forme indéterminée avant de conclure : c'est ce qui interdit de trancher au jugé.