Étude complète d'une fonction avec logarithme

Énoncé

Étudier complètement la fonction f(x) = x (x) sur ]0, +[ : dérivée, variations, limites.

Indice : Calcule f' en utilisant le produit, puis étudie son signe. Pour les limites, utilise les croissances comparées.

Correction

1. Étape 1 : **Domaine de définition** : D_f = ]0, +[
2. Étape 2 : **Dérivée** : On pose u(x) = x et v(x) = (x), donc u'(x) = 1 et v'(x) = 1{x}.
3. Étape 3 : On applique la formule du produit :

   f'(x) = 1 (x) + x 1{x} = (x) + 1

4. Étape 4 : **Signe de f'** : f'(x) = 0 (x) = -1 x = e^{-1} = 1{e}
5. Étape 5 : - Pour 0 < x < 1{e} : f'(x) < 0 → fonction **décroissante**
6. Étape 6 : - Pour x > 1{e} : f'(x) > 0 → fonction **croissante**
7. Étape 7 : La fonction admet un **minimum** en x = 1{e} : f(1{e}) = -1{e}
8. Étape 8 : **Limites** :

   _{x 0^+} f(x) = _{x 0^+} x (x) = 0

9. Étape 9 : Pour x + : _{x +} x (x) = +