Dérivée d'un quotient avec logarithme

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (x){x} pour x > 0.

Indice : Utilise la formule du quotient : (u{v})' = u'v - uv'{v^2} avec u(x) = (x) et v(x) = x.

Correction

1. Étape 1 : Un quotient, et sa formule demande de l'attention sur deux points. Dérivée d'un quotient : [formule] 👉 Deux différences avec le produit : un signe moins, et un dénominateur v^2. ⚠️ L'ORDRE compte, à cause du signe moins : c'est u'v moins uv'. Intervertir donne l'opposé, donc un sens de variation inversé. ℹ️ Cette fonction x{x} est célèbre : son maximum en x = e est ce qui explique pourquoi e^ > ^e, et elle intervient dans la répartition des nombres premiers.
2. Étape 2 : f(x) = x{x} sur ]0\,;+[. On identifie : u = x u' = 1{x} v = x v' = 1 [formule] Le premier terme du numérateur se simplifie : 1{x} x = 1. [formule]

   f'(x) = 1-(x){x^2}

3. Étape 3 : Le signe. Le dénominateur x^2 est strictement positif, donc f' est du signe de 1 - (x) : 1 - (x) > 0 (x) < 1 x < e (la dernière équivalence emploie la croissance de , et 1 = e) f croît sur ]0\,;e] et décroît sur [e\,;+[. Maximum en x = e : [formule]

   f = f(e) = 1{e}

4. Étape 4 : 👉 Ce maximum a une conséquence surprenante. Puisque x{x} 1{e} pour tout x > 0, on peut comparer e^ et ^e sans calculatrice : {} < 1{e} (car e, donc l'inégalité est stricte) En multipliant par e > 0 : e < Or = e, donc e < e, c'est-à-dire (^e) < (e^). Par croissance de : [formule] ℹ️ Numériquement : ^e 22{,}46 et e^ 23{,}14 ✓ — deux nombres très proches, que ce raisonnement sépare sans aucun calcul.

   ^e 22{,}46 < 23{,}14 e^{}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Inverser l'ordre au numérateur : écrire uv' - u'v. On obtiendrait (x) - 1{x^2} — l'opposé — donc une fonction qui décroîtrait puis croîtrait, avec un minimum en e au lieu d'un maximum. 👉 Le contrôle : f(1) = 0 et f(2) 0{,}347 > 0, donc la fonction monte entre 1 et 2. Une dérivée négative sur cet intervalle serait fausse. À retenir : (u{v})' = u'v - uv'{v^2} — l'ordre compte, et v^2 > 0 met tout le signe au numérateur. 👉 Et le maximum 1{e} de cette fonction permet de comparer a^b et b^a pour n'importe quels réels positifs.