Résoudre une équation exponentielle avec logarithme

Énoncé

Résoudre l'équation 2^x = 8.

Indice : Prends le logarithme népérien des deux membres, puis utilise la propriété (a^x) = x(a).

Correction

1. Étape 1 : Une équation où l'inconnue est en exposant, avec une base autre que e. Le logarithme est l'outil qui la fait descendre. Faire descendre un exposant : On applique aux deux membres — licite car ils sont strictement positifs — puis on emploie (a^x) = x(a). 👉 C'est la règle de la puissance qui fait tout le travail : elle transforme un exposant en facteur, donc une équation exponentielle en équation du premier degré. ℹ️ Ici la réponse se devine (2^3 = 8), mais la méthode reste indispensable : elle fonctionne aussi pour 2^x = 7, où aucune valeur entière ne convient.
2. Étape 2 : 2^x = 8. On applique aux deux membres : (2^x) = (8) On fait descendre l'exposant : x(2) = (8) On reconnaît 8 = 2^3, donc (8) = (2^3) = 3(2) : x(2) = 3(2) Comme (2) 0, on divise par 2 : [formule]

   x = 3

3. Étape 3 : Vérification : 2^3 = 8 ✓ 👉 La méthode générale, qui marche même sans valeur remarquable : [formule] Sur cet exemple : x = 8{ 2} = 2{,079}{0{,}693} = 3 ✓ Et pour 2^x = 7 : x = 7{ 2} 1{,946}{0{,}693} 2{,}807 — un résultat qu'aucune reconnaissance de puissance n'aurait donné. ℹ️ Cette quantité b{ a} porte un nom : c'est le logarithme de b en base a, noté _a(b). Il n'est pas au programme, mais on le rencontre partout en informatique.

   a^x = b x = b{ a}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire (2^x) = (2)^x, ou « simplifier » 8{ 2} en 4. Ces deux écritures sont fausses. 8{ 2} est un quotient de logarithmes, ce qui n'est pas la même chose que le logarithme d'un quotient : \!(8{2}) = 4 1{,}386, alors que 8{ 2} = 3. 👉 Il n'existe aucune règle pour un quotient de logarithmes. Les trois règles portent sur l'argument ((ab), (a/b), (a^n)), jamais sur des opérations entre logarithmes. À retenir : fait descendre l'exposant : (a^x) = x a. 👉 Et a^x = b x = b{ a} — ne jamais confondre ce quotient avec \!(b{a}).