Étudier les variations de $\ln(x^2 - 4x + 3)$

Énoncé

Étudier les variations de la fonction f(x) = (x^2 - 4x + 3) sur son domaine de définition.

Indice : Commence par déterminer le domaine (il faut x^2 - 4x + 3 > 0), puis calcule f' et détermine son signe.

Correction

1. Étape 1 : **Domaine** : On doit avoir x^2 - 4x + 3 > 0.
2. Étape 2 : On factorise : x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)
3. Étape 3 : Le trinôme est positif à l'extérieur des racines, donc D_f = ]-, 1[ ]3, +[.
4. Étape 4 : **Dérivée** : On pose u(x) = x^2 - 4x + 3, donc u'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2).
5. Étape 5 : Donc :

   f'(x) = 2(x - 2){x^2 - 4x + 3}

6. Étape 6 : **Signe de f'** :

   - Sur ]-, 1[ : f'(x) < 0 (fonction décroissante)

7. Étape 7 :

   - Sur ]3, +[ : f'(x) > 0 (fonction croissante)