Étudier les variations de $\ln(x^2 - 4x + 3)$

Énoncé

Étudier les variations de la fonction f(x) = (x^2 - 4x + 3) sur son domaine de définition.

Indice : Commence par déterminer le domaine (il faut x^2 - 4x + 3 > 0), puis calcule f' et détermine son signe.

Correction

1. Étape 1 : Une étude où le domaine est le vrai sujet : il n'est pas un intervalle, mais une réunion de deux intervalles disjoints. 👉 Conséquence directe, qu'il faudra respecter dans la rédaction : on ne peut pas dire « f est croissante sur D_f ». Une fonction n'est monotone que sur un intervalle, et il faudra donc deux énoncés séparés. La démarche : 1. domaine : résoudre u(x) > 0, ici une inéquation du second degré ; 2. dérivée par ( u)' = u'{u} ; 3. signe sur chaque morceau du domaine ; 4. limites aux bornes — ce qui révélera deux asymptotes verticales.
2. Étape 2 : Le domaine. Il faut x^2 - 4x + 3 > 0. On factorise : somme des racines 4, produit 3, donc les racines sont 1 et 3 : x^2-4x+3 = (x-1)(x-3) Coefficient dominant +1 > 0 : la parabole est une vallée, donc positive à l'extérieur des racines. [formule] ⚠️ Deux morceaux, séparés par un trou — c'est ce qui structure tout le reste.

   D_f = \,]-;1[ \,\, ]3;+[

3. Étape 3 : La dérivée. u(x) = x^2-4x+3, donc u'(x) = 2x-4 = 2(x-2) : [formule] Le signe. Sur D_f, le dénominateur est strictement positif (c'est la définition du domaine !), donc f' est du signe de x - 2 : sur ]-\,;1[ : x < 1 < 2, donc x - 2 < 0 et f' < 0 f décroît sur ]3\,;+[ : x > 3 > 2, donc x - 2 > 0 et f' > 0 f croît 👉 Noter que x = 2, où f' s'annulerait, n'appartient pas au domaine : il n'y a donc aucun extremum.

   f' du signe de x-2 sur D_f

4. Étape 4 : Les limites, que l'étude ne peut pas omettre. Aux bords du trou. Quand x 1^-, u(x) 0^+ (le trinôme s'annule en 1 en venant du positif), donc [formule] De même _{x 3^+} f(x) = -. [formule] Aux infinis. u(x) + des deux côtés, donc [formule] ℹ️ La forme de la courbe : deux branches, chacune descendant de + à - (à gauche) ou montant de - à + (à droite). Chaque branche prend donc toutes les valeurs réelles, une fois chacune.

   _{1^-} f = _{3^+} f = -

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire « f est décroissante puis croissante » comme s'il s'agissait d'une seule fonction continue. D_f n'est pas un intervalle : les deux branches sont indépendantes, et il n'y a aucun minimum entre elles — la fonction plonge vers - des deux côtés du trou. 👉 Écrire deux phrases séparées : « décroissante sur ]-\,;1[ » et « croissante sur ]3\,;+[ », sans les relier. À retenir : Le domaine d'un peut être une réunion d'intervalles — et la monotonie s'énonce alors morceau par morceau. 👉 Et une étude de variations sans limites aux bornes est incomplète : ce sont elles qui révèlent les asymptotes.