Résoudre une équation avec plusieurs logarithmes

Énoncé

Résoudre l'équation (x) + (x + 2) = (3) pour x > 0.

Indice : Combine les logarithmes en utilisant les propriétés, puis utilise l'injectivité.

Correction

1. Étape 1 : Plusieurs logarithmes dans la même équation : on rassemble d'abord, on résout ensuite. La démarche : 1. domaine — sur l'énoncé de DÉPART ; 2. rassembler les en un seul ; 3. enlever les logarithmes, résoudre ; 4. trier selon le domaine. ⚠️ Le domaine se lit sur l'énoncé de départ, jamais sur la forme rassemblée. Ici (x) + (x+2) exige x > 0 ; mais une fois rassemblé en (x(x+2)), l'argument est aussi positif pour x < -2 — l'ensemble s'est élargi, et des solutions parasites pourraient passer. 👉 C'est exactement ce qui va se produire ici : le second degré donnera -3, qui rend bien x(x+2) positif mais qui n'était pas dans le domaine de départ.
2. Étape 2 : Le domaine. Il faut x > 0 et x + 2 > 0, soit x > -2. La plus contraignante est la première : [formule] Le rassemblement : (x) + (x+2) = (x(x+2)) = (x^2+2x) L'équation devient : (x^2+2x) = (3) x^2 + 2x = 3

   x^2 + 2x - 3 = 0

3. Étape 3 : La résolution. x^2 + 2x - 3 = 0 : = 4 + 12 = 16, = 4 x_1 = -2+4{2} = 1 et x_2 = -2-4{2} = -3 Le tri : x_1 = 1 > 0 ✓ retenu x_2 = -3 < 0 ✗ rejeté — (-3) n'existe pas [formule] Vérification : (1) + (3) = 0 + 3 = 3 ✓

   S = \{1\}

4. Étape 4 : ⚠️ Et voici pourquoi le domaine doit venir de l'énoncé de départ. Dans l'équation transformée (x^2+2x) = 3, la valeur x = -3 donne x^2+2x = 9 - 6 = 3 > 0. Elle y serait donc parfaitement acceptable — le logarithme existe, et l'égalité est vraie. C'est l'énoncé initial qui la rejette : (-3) n'a pas de sens. 👉 Le rassemblement a élargi le domaine, et c'est ce qui crée les solutions parasites. Calculer le domaine après coup revient donc à en calculer un autre — plus large — et à laisser passer ce qu'il fallait écarter.

   x = -3 : \ x^2+2x = 3 > 0 mais (-3) n\'existe pas

5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre S = \{1\,;-3\} — c'est-à-dire oublier le tri. Le second degré rend deux racines ; le domaine du logarithme n'en autorise souvent qu'une. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est indétectable au calcul : il faut y revenir exprès. 👉 Le contrôle : remplacer chaque solution dans l'équation de départ. Avec x = -3, on écrirait (-3) — qui n'existe pas. À retenir : Domaine sur l'énoncé de départ, jamais sur la forme rassemblée. 👉 Et le tri est une étape à part entière : deux racines entrent, une seule sort.