Résoudre une équation avec plusieurs logarithmes

Énoncé

Résoudre l'équation (x) + (x + 2) = (3) pour x > 0.

Indice : Combine les logarithmes en utilisant les propriétés, puis utilise l'injectivité.

Correction

1. Étape 1 : On doit avoir x > 0 et x + 2 > 0, donc x > 0.
2. Étape 2 : On combine les logarithmes :

   (x) + (x + 2) = (x(x + 2)) = (x^2 + 2x)

3. Étape 3 : L'équation devient :

   (x^2 + 2x) = (3) x^2 + 2x = 3

4. Étape 4 : On résout : x^2 + 2x - 3 = 0
5. Étape 5 : Le discriminant est = 4 + 12 = 16.
6. Étape 6 : Les solutions sont x = -2 - 4{2} = -3 et x = -2 + 4{2} = 1.
7. Étape 7 : Comme x > 0, la seule solution est x = 1.