Dérivée de $\ln(x^2 + 1)$

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (x^2 + 1).

Indice : Utilise la formule [(u(x))]' = u'(x){u(x)} avec u(x) = x^2 + 1.

Correction

1. Étape 1 : Une composée, dont l'argument est toujours positif — ce qui simplifie le domaine. 👉 x^2 + 1 1 > 0 pour tout réel : la fonction est définie et dérivable sur R tout entier, sans restriction. ⚠️ C'est un cas fréquent : un « + constante positive » derrière un carré rend l'argument toujours strictement positif. Il faut le dire, car c'est ce qui justifie l'absence de domaine restreint.
2. Étape 2 : u(x) = x^2+1, donc u'(x) = 2x. [formule] Le signe. Le dénominateur est strictement positif, donc f' est du signe de 2x, c'est-à-dire du signe de x : f décroît sur ]-\,;0], croît sur [0\,;+[. Minimum en x = 0 : f(0) = (1) = 0.

   f'(x) = 2x{x^2+1}

3. Étape 3 : 👉 Contrôle sans calcul : est croissante, donc (u) varie comme u. Or x^2+1 est minimal en x = 0 — le minimum de f y est donc attendu ✓ Ce raisonnement est plus rapide que la dérivée, et il s'applique à toute composée par une fonction croissante (, \ , ). ℹ️ Et le minimum vaut exactement 0, ce qui n'est pas un hasard : (1) = 0, et le minimum de x^2+1 vaut précisément 1. La courbe de f touche donc l'axe des abscisses en son point le plus bas — elle est positive ou nulle partout.

   f = f(0) = 1 = 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le u' et écrire f'(x) = 1{x^2+1}. Cette expression est toujours positive : on conclurait que f est croissante sur R, alors qu'elle a manifestement un minimum en 0. 👉 Le contrôle par la composition l'attrape : (x^2+1) varie comme x^2+1, qui décroît puis croît. Toute dérivée qui ne change pas de signe en 0 est fausse. À retenir : ( u)' = u'{u}, et le signe est celui de u' quand u > 0. 👉 Et composer par une fonction croissante préserve les variations : un contrôle qui dispense souvent de dériver.