Dérivée d'un produit avec logarithme

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = x (x) pour x > 0.

Indice : Utilise la formule du produit : (uv)' = u'v + uv' avec u(x) = x et v(x) = (x).

Correction

1. Étape 1 : Un produit, dont la dérivée réserve une simplification remarquable. Dérivée d'un produit : [formule] 👉 Deux termes, parce qu'un produit varie pour deux raisons : parce que u change, et parce que v change. ⚠️ Ce n'est pas u'v' — contre-épreuve immédiate : (x x)' = 2x, alors que 1 1 = 1. ℹ️ Et cette fonction x x est l'une des plus employées de l'analyse : elle apparaît en théorie de l'information (l'entropie), en algorithmique (le coût des tris efficaces), et son étude complète fait l'objet de l'exercice 32012.
2. Étape 2 : f(x) = x(x) sur ]0\,;+[. On identifie : u = x u' = 1 v = x v' = 1{x} f'(x) = 1 (x) + x 1{x} 👉 Le second terme se simplifie entièrement : x 1{x} = 1. [formule]

   f'(x) = (x) + 1

3. Étape 3 : 👉 Cette simplification est la raison d'être de la fonction. La dérivée de x x ne contient plus aucune fraction : c'est « x plus une constante ». Conséquence directe, qu'on retrouvera en intégration : puisque (x x)' = x + 1, on en déduit que [formule] Autrement dit, x x - x est une primitive de . C'est le seul moyen de primitiver le logarithme, et il vient directement de cet exercice. ℹ️ Le signe de f' : x + 1 = 0 x = -1 x = e^{-1}. La fonction décroît avant 1{e} et croît après — étude complète en 32012.

   (x x - x)\' = x

4. Étape 4 : L'erreur classique : Traiter x x comme une composée et écrire 1{x}. C'est un produit, pas une composée : deux fonctions multipliées, et non l'une appliquée à l'autre. Le réflexe qui protège : repérer la structure avant de dériver — produit, quotient ou composée ? À retenir : (uv)' = u'v + uv', et ici le second terme se simplifie en 1. 👉 D'où la primitive du logarithme : x x - x. Un résultat qui découle directement de cette dérivée.