Calculer la dérivée de $\ln(2x + 1)$

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (2x + 1) pour x > -1{2}.

Indice : Utilise la formule [(u(x))]' = u'(x){u(x)} avec u(x) = 2x + 1.

Correction

1. Étape 1 : La version composée de la formule précédente. Dériver un logarithme composé : [formule] 👉 Le u' va au NUMÉRATEUR — c'est la différence avec l'exponentielle, où il vient devant ((e^u)' = u'e^u). Deux formules voisines, deux places différentes. Trois lignes séparées : 1. poser u ; 2. calculer u' ; 3. appliquer. ⚠️ Et la formule n'a de sens que là où u > 0 — c'est pourquoi l'énoncé précise le domaine.
2. Étape 2 : Ligne 1 — u(x) = 2x+1. Ligne 2 — u'(x) = 2. Ligne 3 : [formule] 👉 Le domaine x > -1{2} garantit 2x+1 > 0, donc que le logarithme existe et que la dérivée est bien définie. Contrôle de signe : sur ce domaine, 2x+1 > 0 et 2 > 0, donc f' > 0 — la fonction est croissante. Cohérent : est croissante et 2x+1 aussi, donc la composée l'est.

   f'(x) = 2{2x+1}

3. Étape 3 : ℹ️ Une vérification par une autre voie, qui éclaire la formule. (2x+1) ne se décompose pas — mais si l'énoncé avait été (2x), on pourrait écrire (2x) = 2 + x, dont la dérivée est 0 + 1{x} = 1{x}. Et la formule composée donne 2{2x} = 1{x} ✓ — le même résultat. 👉 C'est un bon test à faire une fois : sur un cas où l'on sait dériver autrement, la formule doit redonner la même chose.

   ((2x))\' = 2{2x} = 1{x}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le u' et écrire f'(x) = 1{2x+1}. L'erreur ne se voit pas — le résultat garde la bonne forme, et son signe est même correct ici. Elle ne se détecte que par le contrôle décrit ci-dessus, ou en comparant à un cas connu. 👉 Le repère : ( u)' = u'{u}, avec u' au numérateur ; (e^u)' = u'e^u, avec u' devant. À retenir : ( u)' = u'{u} — trois lignes séparées, et le u' au numérateur. 👉 Et vérifier une formule sur un cas où l'on sait faire autrement : dix secondes, et l'on est sûr de ne pas l'avoir mal mémorisée.