Calculer la dérivée de $\ln(x)$

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (x) pour x > 0.

Indice : La dérivée de (x) est 1{x}.

Correction

1. Étape 1 : La dérivée du logarithme est la formule à connaître du chapitre, et sa simplicité est remarquable. Dérivée du logarithme : [formule] 👉 Ce qui est frappant : le logarithme est une fonction « compliquée », et sa dérivée est la plus simple qui soit. C'est d'ailleurs ainsi qu'on le définit parfois — comme la primitive de 1{x} qui s'annule en 1. ⚠️ Et la formule ne vaut que sur ]0\,;+[, domaine du logarithme.
2. Étape 2 : [formule] 👉 Ce que cela apprend sur la fonction. Pour x > 0, on a 1{x} > 0 : [formule] C'est cette croissance qui justifie tout le reste du chapitre — la résolution des équations, celle des inéquations, le passage aux exposants. ℹ️ Et la dérivée DIMINUE quand x grandit : f'(1) = 1, f'(10) = 0{,}1, f'(100) = 0{,}01. Le logarithme croît donc de moins en moins vite — il est concave, et c'est pourquoi il finit par être écrasé par n'importe quelle puissance de x.

   f'(x) = 1{x} > 0

3. Étape 3 : L'erreur classique : Écrire ( x)' = x, par analogie avec l'exponentielle. C'est l'exponentielle qui est sa propre dérivée, pas le logarithme. Le contrôle de bon sens : croît très lentement, alors que sa valeur devient grande — sa dérivée doit donc être petite quand x est grand, ce que 1{x} vérifie et x non. À retenir : ( x)' = 1{x} — la fonction la plus simple qui soit. 👉 Et cette dérivée positive et décroissante dit deux choses : est croissante, et elle est concave.