Résoudre une équation avec deux logarithmes

Énoncé

Résoudre l'équation (x + 1) = (2x - 3).

Indice : Utilise l'injectivité : (a) = (b) a = b. N'oublie pas de vérifier les conditions d'existence.

Correction

1. Étape 1 : Une équation de la forme (A) = (B), et le domaine doit venir en premier. Trois temps, dans cet ordre : 1. le domaine : les deux arguments strictement positifs ; 2. la résolution : (A) = (B) A = B ; 3. le tri : ne garder que ce qui respecte le domaine. 👉 Pourquoi (A) = (B) donne A = B : parce que est strictement croissante, donc elle ne prend jamais deux fois la même valeur. Deux arguments différents ont nécessairement des logarithmes différents. ⚠️ L'étape 1 avant l'étape 2, toujours : chercher le domaine *après* revient à valider des solutions qu'on aurait dû écarter — et le calcul, lui, ne proteste pas.
2. Étape 2 : Le domaine. Il faut les deux arguments strictement positifs : x + 1 > 0 x > -1 2x - 3 > 0 x > 3{2} C'est la plus contraignante qui l'emporte : [formule]

   x > 3{2}

3. Étape 3 : La résolution. Par stricte croissance de : (x+1) = (2x-3) x+1 = 2x-3 1 + 3 = 2x - x [formule] Le tri : 4 > 3{2} ✓ — la solution est dans le domaine. [formule] Vérification dans l'équation de départ : x+1 = 5 et 2x-3 = 5. Les deux arguments valent 5, donc 5 = 5 ✓

   S = \{4\}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Résoudre sans domaine, et garder une solution où l'un des arguments est négatif. Ici tout se passe bien, mais changeons l'énoncé en (x+1) = (2x+5) : le calcul donne x = -4, et alors x+1 = -3 < 0 — (-3) n'existe pas, donc il n'y a aucune solution. Sans le domaine, on aurait répondu -4. 👉 Le contrôle qui coûte dix secondes : remplacer la solution dans l'énoncé de départ et vérifier que les deux arguments sont positifs. À retenir : Domaine, résolution, tri — dans cet ordre, et le domaine est l'intersection des conditions. 👉 Et c'est la stricte croissance de qui autorise à « enlever les logarithmes ».