Résoudre une équation logarithmique simple

Énoncé

Résoudre l'équation (x) = 3.

Indice : Utilise la définition : (x) = a x = e^a.

Correction

1. Étape 1 : Une équation (x) = k se résout en passant à l'exponentielle — c'est la relation réciproque entre les deux fonctions. et sont réciproques : [formule] 👉 Pourquoi ça marche : appliquer aux deux membres donne e^{ x} = e^k, et e^{ x} = x pour tout x > 0. Les deux fonctions s'annulent l'une l'autre. ⚠️ Et il faut vérifier que la solution est positive — sauf qu'ici c'est automatique : e^k > 0 pour tout réel k, donc aucune solution de cette forme n'est jamais à rejeter.
2. Étape 2 : Le domaine : (x) exige x > 0. La résolution, en passant à l'exponentielle : [formule] Le tri : e^3 20{,}09 > 0 ✓ — la solution est bien dans le domaine. [formule] 👉 On laisse la réponse sous forme exacte : e^3, et non 20{,}09. Une valeur approchée serait moins précise, pas plus claire.

   x = e^3

3. Étape 3 : L'erreur classique : Écrire x = 3^e — en inversant les rôles de la base et de l'exposant. 3^e 19{,}8 et e^3 20{,}1 : les deux nombres sont proches, ce qui rend l'erreur d'autant plus difficile à repérer. Le contrôle : (e^3) = 3 ✓ tandis que (3^e) = e 3 2{,}98 3. 👉 Le repère : est réciproque de la fonction x e^x, donc c'est e qui est à la base et le résultat qui monte en exposant. À retenir : (x) = k x = e^k — et e^k est toujours positif, donc jamais à rejeter. 👉 Et le contrôle universel : réappliquer au résultat doit redonner k.