Simplifier des expressions logarithmiques

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) (2) + (3) b) (6) - (2) c) 2(x) (pour x > 0)

Indice : Utilise les propriétés : (ab) = (a) + (b), (a{b}) = (a) - (b) et (a^n) = n(a).

Correction

  1. Étape 1 : Le logarithme transforme les produits en sommes — c'est sa raison d'être, et toutes ses règles en découlent. Les trois règles : [formule] 👉 Elles se lisent dans les deux sens. Pour simplifier, on va de la somme vers le produit : plusieurs deviennent un seul. Pour développer, on fait l'inverse. C'est le sens de lecture qui décide. ⚠️ Et elles n'existent que pour des arguments strictement positifs : n'accepte rien d'autre.
  2. Étape 2 : a) Une somme de logarithmes devient le logarithme d'un produit : [formule] 👉 (6) est la réponse : il n'existe pas d'écriture plus simple. Un logarithme n'a de « valeur exacte » courte que si son argument est une puissance de e. Contrôle numérique : 2 0{,}693 et 3 1{,}099, dont la somme vaut 1{,}792 — et 6 1{,}792 ✓

    2 + 3 = 6

  3. Étape 3 : b) Une différence devient le logarithme d'un quotient : [formule] c) Un coefficient devant un remonte en exposant : [formule] ⚠️ La condition x > 0 est essentielle ici, et pas seulement décorative : (x^2) existe pour tout x 0, y compris négatif, alors que 2(x) exige x > 0. Les deux écritures ne sont donc PAS interchangeables — elles coïncident seulement sur les positifs. 👉 C'est un piège fréquent dans les résolutions d'équations : passer de 2 x à (x^2) élargit le domaine, donc peut créer des solutions parasites.

    6 - 2 = 3 \ ; 2 x = (x^2)

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire (a+b) = a + b. C'est faux : le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme. Contre-épreuve immédiate : (1+1) = 2 0{,}69, alors que 1 + 1 = 0. 👉 Il n'existe aucune règle pour (a+b) : devant une somme dans un logarithme, on ne peut rien faire — sauf si elle se factorise. À retenir : Produit somme, quotient différence, puissance coefficient. 👉 Et 2 x et (x^2) n'ont pas le même domaine : le second accepte les négatifs, le premier non.