Étude complète d'une fonction avec exponentielle

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (x + 1)e^{-x}. a) Déterminer la dérivée f' de f. b) Étudier le signe de f' et dresser le tableau de variations de f. c) Déterminer les limites de f en + et -. d) Montrer que f admet un maximum en x = 0 et calculer f(0).

Indice : Pour a), utilise la dérivée d'un produit. Pour b), étudie le signe de f'. Pour c), utilise les limites de e^{-x} et les croissances comparées.

Correction

1. Étape 1 : Une étude complète, qui rassemble tout le chapitre : produit à dériver, exponentielle décroissante, croissance comparée pour les limites. ⚠️ Le piège de ce type de fonction est en -, et il faut le voir venir : e^{-x} y tend vers +, pas vers 0. Car quand x -, l'exposant -x +. 👉 Le réflexe : ne jamais raisonner sur « l'exponentielle », mais sur où part son exposant. C'est lui qui décide, à chaque fois. ℹ️ Et une remarque de méthode : la question d) demande de « montrer que f admet un maximum » — le tableau de b) le donne déjà. Il suffit de le lire et de calculer la valeur.
2. Étape 2 : a) f(x) = (x+1)e^{-x} est un produit : u = x+1 u' = 1 v = e^{-x} v' = -e^{-x} (le coefficient -1 vient devant) f'(x) = 1 e^{-x} + (x+1) (-e^{-x}) On factorise par e^{-x} : f'(x) = e^{-x}(1 - (x+1)) = e^{-x}(1 - x - 1) [formule] 👉 La simplification est nette : les deux « 1 » s'annulent, et il ne reste que -x.

   f'(x) = -x\,e^{-x}

3. Étape 3 : b) e^{-x} > 0 pour tout réel, donc le signe de f' est celui de -x : | x | - | | 0 | | + | |:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | -x | | + | 0 | - | | | f' | | + | 0 | - | | | f | - | | 1 | | 0 | f est croissante sur ]-\,;0] et décroissante sur [0\,;+[.

   f' du signe de -x

4. Étape 4 : c) Les limites. En + : forme (+) 0, indéterminée. On développe pour se ramener aux formes connues : f(x) = (x+1)e^{-x} = x\,e^{-x} + e^{-x} = x{e^x} + 1{e^x} Or x{e^x} 0 (croissance comparée) et 1{e^x} 0 : [formule] La droite y = 0 est asymptote horizontale en +. En - : x + 1 -, et e^{-x} + (l'exposant -x part vers +). Aucune indétermination — les deux facteurs poussent dans le même sens : [formule]

   _{-} f = - \ ; _{+} f = 0

5. Étape 5 : d) Le tableau de b) montre que f croît puis décroît, avec un changement en x = 0 : c'est donc un maximum. Sa valeur : [formule] [formule] 👉 « Global » et pas seulement local : la fonction croît sur tout ]-\,;0] et décroît sur tout [0\,;+[ — il n'y a pas d'autre morceau où elle pourrait remonter plus haut. ℹ️ Contrôle de cohérence avec les limites : f monte de - jusqu'à 1, puis redescend vers 0 sans jamais l'atteindre. Elle est donc positive sur ]-1\,;+[ et négative avant — ce qui se vérifie directement, f(x) = (x+1)e^{-x} étant du signe de x+1 ✓

   f = f(0) = 1

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire _{x -} e^{-x} = 0 — en transposant la limite de e^x sans regarder l'exposant. Quand x -, l'exposant -x part vers + : l'exponentielle explose. On obtiendrait sinon une forme indéterminée là où il n'y en a pas, et probablement une limite fausse. 👉 Le réflexe universel : écrire d'abord où part l'exposant, puis appliquer e^t + ou e^t 0 selon le cas. Jamais de raisonnement direct sur e^{-x}. ⚠️ Et second piège de rédaction : employer le symbole « » pour écrire « x+1 x ». Cette notation n'est pas au programme ; ici il suffit de développer (x+1)e^{-x} = xe^{-x} + e^{-x}, ce qui donne deux termes dont on connaît la limite. À retenir : Regarder où part l'EXPOSANT, jamais l'exponentielle directement. 👉 Et pour une forme 0 : développer quand chaque morceau a une limite connue, factoriser quand il faut isoler un dominant.