Étude complète d'une fonction avec exponentielle

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = (x + 1)e^{-x}. a) Déterminer la dérivée f' de f. b) Étudier le signe de f' et dresser le tableau de variations de f. c) Déterminer les limites de f en + et -. d) Montrer que f admet un maximum en x = 0 et calculer f(0).

Indice : Pour a), utilise la dérivée d'un produit. Pour b), étudie le signe de f'. Pour c), utilise les limites de e^{-x} et les croissances comparées.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On a f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = x + 1 et v(x) = e^{-x}. On calcule u'(x) = 1 et v'(x) = -e^{-x}.

   u(x) = x + 1, v(x) = e^{-x}, u'(x) = 1, v'(x) = -e^{-x}

2. Étape 2 : On applique la formule du produit : f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 e^{-x} + (x + 1) (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x - 1) = -xe^{-x}.

   f'(x) = -xe^{-x}

3. Étape 3 : **b)** Comme e^{-x} > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de -x. Donc f'(x) > 0 si x < 0 et f'(x) < 0 si x > 0.

   f'(x) > 0 si x < 0, f'(x) < 0 si x > 0

4. Étape 4 : Donc f est croissante sur ]-, 0] et décroissante sur [0, +[.

   f croissante sur ]-, 0], décroissante sur [0, +[

5. Étape 5 : **c)** Quand x + : x + 1 x et e^{-x} 0, donc f(x) x 0 = 0 (par croissance comparée, _{x +} xe^{-x} = 0).

   _{x +} f(x) = 0

6. Étape 6 : Quand x - : x + 1 - et e^{-x} = e^{|x|} +, donc f(x) - (produit d'un négatif et d'un infini positif).

   _{x -} f(x) = -

7. Étape 7 : **d)** D'après le tableau de variations, f admet un maximum en x = 0. On calcule f(0) = (0 + 1) e^0 = 1 1 = 1.

   f(0) = 1