Calculer une limite avec forme indéterminée complexe

Énoncé

Déterminer la limite suivante : [formule]

Indice : C'est une forme indéterminée + - +. Factorise par e^x pour faire apparaître un terme qui tend vers 1 et un autre qui tend vers 0.

Correction

1. Étape 1 : On a une forme indéterminée + - + car _{x +} e^x = + et _{x +} x^2 = +.

   Forme indéterminée + - +

2. Étape 2 : On factorise par e^x : e^x - x^2 = e^x(1 - x^2{e^x}).

   e^x - x^2 = e^x(1 - x^2{e^x})

3. Étape 3 : Comme e^x croît plus vite que x^2, on a _{x +} x^2{e^x} = 0.

   _{x +} x^2{e^x} = 0

4. Étape 4 : Donc 1 - x^2{e^x} 1 et e^x +, donc le produit tend vers +.

   _{x +} (e^x - x^2) = +