Calculer une limite avec forme indéterminée complexe

Énoncé

Déterminer la limite suivante : [formule]

Indice : C'est une forme indéterminée + - +. Factorise par e^x pour faire apparaître un terme qui tend vers 1 et un autre qui tend vers 0.

Correction

1. Étape 1 : Une forme - , et le geste qui la lève est toujours le même. Forme - : Factoriser par le terme dominant — celui qui l'emporte. La différence devient un produit, et un produit n'est plus indéterminé dès que chaque facteur a une limite. 👉 Ici le dominant est e^x, d'après la croissance comparée : l'exponentielle l'emporte sur x^2. C'est ce qui décide de la réponse avant tout calcul — la limite sera +. ⚠️ Et il faut écrire que la forme est indéterminée : sans cela, on donnerait l'impression de conclure au jugé.
2. Étape 2 : On nomme la forme : _{x +} e^x = + et _{x +} x^2 = + [formule] On factorise par e^x : [formule] ⚠️ Vérification de la factorisation en développant : e^x 1 - e^x x^2{e^x} = e^x - x^2 ✓

   e^x - x^2 = e^x(1 - x^2{e^x})

3. Étape 3 : Chaque facteur a maintenant une limite : x^2{e^x} 0 par croissance comparée, donc 1 - x^2{e^x} 1 e^x + Le produit tend donc vers + 1 : [formule] 👉 L'indétermination a disparu : elle venait de la soustraction, et la factorisation l'a transformée en produit.

   _{x +}(e^x - x^2) = +

4. Étape 4 : ℹ️ Le résultat mérite un regard, car il n'est pas intuitif. Sur les petites valeurs, x^2 domine : | x | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | |:---|---:|---:|---:|---:|---:| | e^x | 2{,}7 | 7{,}4 | 20 | 148 | 22\,026 | | x^2 | 1 | 4 | 9 | 25 | 100 | | e^x - x^2 | 1{,}7 | 3{,}4 | 11 | 123 | 21\,926 | L'exponentielle passe devant dès x = 1 ici, et l'écart explose ensuite. 👉 Mais contre x^{10}, l'exponentielle ne passe devant que vers x 36 — et elle finit toujours par gagner. Le degré du polynôme ne change que le MOMENT, jamais l'issue.

   le degré change le moment, pas l\'issue

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « + - = 0 » ou « c'est indéterminé, donc on ne peut rien dire ». Une forme indéterminée n'est pas une impasse : c'est un signal qu'il faut transformer l'expression. Ici la factorisation lève l'indétermination en deux lignes. 👉 Le réflexe : nommer la forme, puis factoriser par le dominant. C'est le même geste pour toutes les formes - , quelle que soit la nature des termes. À retenir : - factoriser par le terme dominant, ce qui transforme la différence en produit. 👉 Et vérifier la factorisation en développant : dix secondes, et l'on est sûr de n'avoir rien perdu.