Dériver et étudier une fonction avec exponentielle et quotient

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e^x{e^x + 1}. a) Montrer que pour tout x R, f(x) = 1 - 1{e^x + 1}. b) En déduire la dérivée f' et étudier les variations de f. c) Déterminer les limites de f en + et -.

Indice : Pour a), mets au même dénominateur. Pour b), dérive la forme simplifiée. Pour c), utilise les limites de e^x.

Correction

1. Étape 1 : Un exercice construit en trois marches, où la question a) sert à rendre les deux autres faciles. 👉 Dérivé tel quel, e^x{e^x+1} demande la formule du quotient et un développement pénible. Réécrit 1 - 1{e^x+1}, il se dérive comme un inverse — bien plus court — et ses limites se lisent. Le geste de la question a) : Faire apparaître le dénominateur au numérateur : [formule] ⚠️ Cette astuce est générale : elle s'applique à tout quotient dont le numérateur est de même « degré » que le dénominateur, et elle fait apparaître une asymptote — ici y = 1.
2. Étape 2 : a) On ajoute et retranche 1 au numérateur : f(x) = e^x{e^x+1} = e^x + 1 - 1{e^x+1} On sépare la fraction en deux : = e^x+1{e^x+1} - 1{e^x+1} [formule] Vérification en x = 0 : à gauche 1{2}, à droite 1 - 1{2} = 1{2} ✓

   f(x) = 1 - 1{e^x+1}

3. Étape 3 : b) Sous cette forme, seul le second terme dépend de x. On dérive avec (1{u})' = -u'{u^2}, où u = e^x+1 et u' = e^x : f'(x) = 0 - (-e^x{(e^x+1)^2}) [formule] ⚠️ Deux signes moins se compensent : celui de la formule de l'inverse, et celui du -1{e^x+1} de f. C'est le point à écrire lentement. Le signe : e^x > 0 et (e^x+1)^2 > 0, donc [formule] f est strictement croissante sur R.

   f'(x) = e^x{(e^x+1)^2} > 0

4. Étape 4 : c) Les limites, immédiates sur la forme décomposée. En + : e^x +, donc e^x + 1 + et 1{e^x+1} 0 : [formule] En - : e^x 0, donc e^x + 1 1 et 1{e^x+1} 1 : [formule] 👉 Deux asymptotes horizontales : y = 0 en - et y = 1 en +. La fonction croît donc de 0 à 1, sans jamais atteindre ni l'une ni l'autre valeur. Elle prend toutes les valeurs de ]0\,;1[, une seule fois chacune.

   _{-} f = 0 \ ; _{+} f = 1

5. Étape 5 : ℹ️ Cette fonction porte un nom : c'est la fonction LOGISTIQUE (ou « sigmoïde »), et sa forme en S se retrouve partout où une croissance est freinée par une limite : la diffusion d'une innovation dans une population ; la progression d'une épidémie jusqu'à saturation ; et, en apprentissage automatique, la conversion d'un score en probabilité — précisément parce qu'elle envoie R tout entier dans ]0\,;1[. C'est ce que dit la question c) : croissante de 0 à 1, donc capable de représenter n'importe quelle probabilité. L'erreur classique : Dériver e^x{e^x+1} directement par la formule du quotient. Ce n'est pas faux — on obtient e^x(e^x+1) - e^x e^x{(e^x+1)^2} = e^x{(e^x+1)^2}, le même résultat — mais c'est trois fois plus long, et le développement offre trois occasions de se tromper. La question a) est là pour être utilisée. À retenir : Faire apparaître le dénominateur au numérateur : u{u+1} = 1 - 1{u+1}. 👉 Ce geste donne la dérivée et les asymptotes d'un coup — et il s'applique à tous les quotients de ce type.