Dériver et étudier une fonction avec exponentielle et quotient

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e^x{e^x + 1}. a) Montrer que pour tout x R, f(x) = 1 - 1{e^x + 1}. b) En déduire la dérivée f' et étudier les variations de f. c) Déterminer les limites de f en + et -.

Indice : Pour a), mets au même dénominateur. Pour b), dérive la forme simplifiée. Pour c), utilise les limites de e^x.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On a f(x) = e^x{e^x + 1}. En effectuant la division ou en manipulant, on obtient : f(x) = e^x + 1 - 1{e^x + 1} = 1 - 1{e^x + 1}.

   f(x) = 1 - 1{e^x + 1}

2. Étape 2 : **b)** On dérive : f'(x) = -(-e^x){(e^x + 1)^2} = e^x{(e^x + 1)^2} (dérivée de 1{u} avec u = e^x + 1).

   f'(x) = e^x{(e^x + 1)^2}

3. Étape 3 : Comme e^x > 0 et (e^x + 1)^2 > 0 pour tout x, on a f'(x) > 0 pour tout x. Donc f est strictement croissante sur R.

   f est strictement croissante sur R

4. Étape 4 : **c)** Quand x + : e^x +, donc e^x + 1 + et 1{e^x + 1} 0, donc f(x) 1.

   _{x +} f(x) = 1

5. Étape 5 : Quand x - : e^x 0, donc e^x + 1 1 et 1{e^x + 1} 1, donc f(x) 0.

   _{x -} f(x) = 0