Résoudre une équation exponentielle complexe

Énoncé

Résoudre dans R l'équation : [formule] Puis résoudre l'inéquation : [formule]

Indice : Pour l'équation, pose X = e^x. Pour l'inéquation, utilise le signe du trinôme X^2 - 4X + 3 et n'oublie pas que X = e^x > 0.

Correction

1. Étape 1 : On pose X = e^x avec X > 0. L'équation devient : X^2 - 4X + 3 = 0.

   X = e^x, X > 0, X^2 - 4X + 3 = 0

2. Étape 2 : Le discriminant est = 16 - 12 = 4. Les solutions sont X_1 = 4 - 2{2} = 1 et X_2 = 4 + 2{2} = 3.

   X_1 = 1, X_2 = 3

3. Étape 3 : On revient à x : e^x = 1 ou e^x = 3, donc x = 0 ou x = (3).

   S_{équation} = \{0, (3)\}

4. Étape 4 : Pour l'inéquation, le trinôme X^2 - 4X + 3 est négatif entre ses racines, donc pour X ]1, 3[. Comme X = e^x > 0, on a 1 < e^x < 3.

   1 < e^x < 3

5. Étape 5 : En appliquant le logarithme (qui est croissant) : 0 < x < (3).

   S_{inéquation} = ]0, (3)[