Résoudre une équation exponentielle complexe

Énoncé

Résoudre dans R l'équation : [formule] Puis résoudre l'inéquation : [formule]

Indice : Pour l'équation, pose X = e^x. Pour l'inéquation, utilise le signe du trinôme X^2 - 4X + 3 et n'oublie pas que X = e^x > 0.

Correction

1. Étape 1 : Le changement de variable, appliqué deux fois : à une équation puis à une inéquation. C'est la seconde partie qui est instructive. 👉 Pour l'inéquation, le tri est plus délicat : on ne cherche plus les valeurs de X qui annulent, mais l'intervalle où le trinôme est négatif. Puis il faut repasser à x — et c'est là que le sens de l'inégalité peut se perdre. Inéquation par changement de variable : 1. poser X = e^x, résoudre l'inéquation en X ; 2. croiser avec X > 0 ; 3. repasser à x par , qui est croissant — le sens se conserve.
2. Étape 2 : L'équation. On pose X = e^x (X > 0) : [formule] = 16 - 12 = 4, = 2 X_1 = 4-2{2} = 1 et X_2 = 4+2{2} = 3 Les deux sont positives ✓ Retour à x : e^x = 1 x = 0 (car 1 = e^0) et e^x = 3 x = 3. [formule]

   S = \{0\,; 3\}

3. Étape 3 : L'inéquation e^{2x} - 4e^x + 3 < 0, soit X^2 - 4X + 3 < 0. Le trinôme a un coefficient dominant +1 > 0 : sa parabole est une vallée, donc il est négatif ENTRE ses racines. [formule] Croisement avec X > 0 : l'intervalle ]1\,;3[ est déjà entièrement positif, donc la contrainte n'ajoute rien ici. [formule]

   1 < e^x < 3

4. Étape 4 : Le retour à x. On applique aux trois membres — licite car ils sont tous strictement positifs, et est croissant, donc le sens se conserve : 1 < x < 3 Et 1 = 0 : [formule] 👉 Contrôle de cohérence : les bornes de l'inéquation sont exactement les solutions de l'équation. C'est normal — le trinôme change de signe précisément en ses racines, donc l'inégalité stricte exclut ces deux points. Vérification par une valeur intérieure, x = 0{,}5 : e^{1} - 4e^{0{,}5} + 3 2{,}72 - 6{,}59 + 3 = -0{,}87 < 0 ✓

   S = \,]0\,; 3[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de repasser à x, et répondre S = \,]1\,;3[. C'est l'intervalle des valeurs de X = e^x, pas de x. Le contrôle : est-ce que x = 2 (qui est dans ]1\,;3[) convient ? e^4 - 4e^2 + 3 54{,}6 - 29{,}6 + 3 = 28 > 0 — non. L'erreur se voit en une substitution. 👉 Second point : est croissant, donc le sens se conserve au passage. Ce n'est pas une évidence — avec une fonction décroissante, il faudrait tout retourner. À retenir : Pour une inéquation : trinôme négatif entre ses racines (si a > 0), puis des trois membres. 👉 Et les bornes de l'inéquation sont les solutions de l'équation : un contrôle gratuit entre les deux questions.