Comparer des croissances exponentielles

Énoncé

Comparer les limites suivantes et justifier : a) _{x +} e^x{x^2} b) _{x +} e^{2x}{e^x + x} c) _{x +} x^3{e^x}

Indice : Rappelle-toi que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x. Pour b), factorise par e^x au dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Trois limites, et le même théorème pour les trois — à condition de savoir s'y ramener. Croissance comparée : [formule] 👉 Les deux formes sont inverses l'une de l'autre : si un quotient tend vers +, son inverse tend vers 0. Il n'y a donc qu'un seul résultat à retenir, dans le sens qu'on préfère. ⚠️ La question b) n'est pas de cette forme : son dénominateur est e^x + x, pas une puissance. Il faudra factoriser pour s'y ramener.
2. Étape 2 : a) e^x{x^2} : c'est exactement la forme du théorème, avec n = 2. [formule] 👉 On nomme d'abord la forme indéterminée +{+}, puis on cite le théorème. Deux lignes, et c'est complet. c) x^3{e^x} : c'est la forme inverse, avec n = 3. [formule] ℹ️ Le degré 3 ne change rien : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. Elle met simplement un peu plus longtemps.

   e^x{x^2} = + \ ; x^3{e^x} = 0

3. Étape 3 : b) e^{2x}{e^x + x} : forme +{+}, et le dénominateur n'est pas une puissance. On factorise le dénominateur par son terme dominant e^x : e^x + x = e^x(1 + x{e^x}) ⚠️ Vérifions cette factorisation en développant : e^x 1 + e^x x{e^x} = e^x + x ✓ L'expression devient donc : [formule]

   e^{2x}{e^x+x} = e^x 1{1+x{e^x}}

4. Étape 4 : On simplifie le premier facteur avec la règle du quotient : e^{2x}{e^x} = e^{2x-x} = e^x Et le second : d'après la croissance comparée, x{e^x} 0, donc le dénominateur 1 + x{e^x} tend vers 1, et la fraction entière tend vers 1. Le produit vaut donc « + fois 1 » : [formule] 👉 La factorisation par le terme dominant est le geste standard de toutes les formes {} non standard : elle isole ce qui explose et fait apparaître un facteur de limite finie.

   _{x +} e^{2x}{e^x+x} = +

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire « e^x + x e^x » et enchaîner. Le symbole (équivalence) n'est pas au programme de Terminale : c'est une notation du supérieur, et l'employer en devoir n'apporte aucun point — au mieux la correction est ignorée, au pire elle est comptée comme non justifiée. 👉 La factorisation dit exactement la même chose, avec les outils du chapitre : on met e^x en facteur, et l'on montre que ce qui reste tend vers 1. Trois lignes, entièrement recevables. À retenir : Un seul théorème, deux formes inverses : e^x{x^n} + et x^n{e^x} 0. 👉 Et pour une forme non standard : factoriser par le terme dominant, puis vérifier la factorisation en développant.