Comparer des croissances exponentielles

Énoncé

Comparer les limites suivantes et justifier : a) _{x +} e^x{x^2} b) _{x +} e^{2x}{e^x + x} c) _{x +} x^3{e^x}

Indice : Rappelle-toi que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x. Pour b), factorise par e^x au dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On a une forme indéterminée +{+}. Comme e^x croît plus vite que x^2, le quotient tend vers +.

   _{x +} e^x{x^2} = +

2. Étape 2 : **b)** On factorise par e^x au dénominateur : e^x + x = e^x(1 + x{e^x}). Comme _{x +} x{e^x} = 0, on a e^x + x e^x.

   e^x + x = e^x(1 + x{e^x}) e^x

3. Étape 3 : Donc e^{2x}{e^x + x} e^{2x}{e^x} = e^x, qui tend vers +.

   _{x +} e^{2x}{e^x + x} = +

4. Étape 4 : **c)** Comme e^x croît plus vite que x^3, le quotient tend vers 0.

   _{x +} x^3{e^x} = 0