Étudier les variations d'une fonction avec exponentielle

Énoncé

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e^{-x^2 + 2x}. a) Déterminer la dérivée f'. b) Étudier le signe de f' et en déduire les variations de f.

Indice : Pour dériver e^{u(x)}, utilise (e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}. Ici, u(x) = -x^2 + 2x.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On a f(x) = e^{u(x)} avec u(x) = -x^2 + 2x. On calcule u'(x) = -2x + 2.

   u(x) = -x^2 + 2x, u'(x) = -2x + 2

2. Étape 2 : On applique la formule de dérivation : f'(x) = u'(x) e^{u(x)} = (-2x + 2) e^{-x^2 + 2x}.

   f'(x) = (-2x + 2)e^{-x^2 + 2x} = 2(1 - x)e^{-x^2 + 2x}

3. Étape 3 : **b)** Comme e^{-x^2 + 2x} > 0 pour tout x, le signe de f'(x) est celui de 2(1 - x) = 2 - 2x.

   f'(x) a le signe de 1 - x

4. Étape 4 : On a f'(x) > 0 si 1 - x > 0, c'est-à-dire x < 1, et f'(x) < 0 si x > 1. Donc f est croissante sur ]-, 1] et décroissante sur [1, +[.

   f croissante sur ]-, 1], décroissante sur [1, +[