Étudier les variations d'une fonction avec exponentielle
Énoncé
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = e^{-x^2 + 2x}.
a) Déterminer la dérivée f'.
b) Étudier le signe de f' et en déduire les variations de f.
Indice : Pour dériver e^{u(x)}, utilise (e^{u(x)})' = u'(x) e^{u(x)}. Ici, u(x) = -x^2 + 2x.
Correction
- Étape 1 : Une étude de variations où tout le travail est dans le signe d'un polynôme — l'exponentielle, elle, ne pose aucune difficulté.
👉 Le principe : f = e^{u} avec u un trinôme. Comme e^{u} > 0 toujours, le signe de f' est exactement celui de u'.
Un raccourci qui évite tout calcul :
est croissante, donc e^u varie comme u : elle croît là où u croît, et atteint son maximum là où u atteint le sien.
⚠️ Ce raccourci ne dispense pas de faire le calcul demandé, mais il donne la réponse attendue — et permet donc de vérifier qu'on ne s'est pas trompé de signe.
- Étape 2 : a) f(x) = e^{u(x)} avec u(x) = -x^2 + 2x.
u'(x) = -2x + 2
On applique (e^u)' = u'e^u :
f'(x) = (-2x+2)\,e^{-x^2+2x}
On factorise le polynôme :
[formule]
f'(x) = 2(1-x)e^{-x^2+2x}
- Étape 3 : b) L'exponentielle est strictement positive, et le facteur 2 aussi. Le signe de f' est donc celui de 1 - x :
| x | - | | 1 | | + |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| 1-x | | + | 0 | - | |
| f' | | + | 0 | - | |
| f | | | e | | |
f est croissante sur ]-\,;1] et décroissante sur [1\,;+[.
Le maximum : u(1) = -1 + 2 = 1, donc f(1) = e^1 = e 2{,}718.
f = f(1) = e
- Étape 4 : 👉 Le contrôle par le raccourci. u(x) = -x^2+2x est un trinôme de coefficient dominant -1 < 0 : c'est une colline, dont le sommet est en
[formule]
u atteint donc son maximum en x = 1, et étant croissante, f = e^u y atteint le sien aussi ✓
Les deux méthodes concordent — et la seconde n'a demandé aucune dérivation.
ℹ️ Forme de la courbe : f monte de 0 (en -, car u -) jusqu'à e, puis redescend vers 0. C'est une courbe en cloche, cousine de celle de la loi normale.
x_{sommet de u} = -b{2a} = 1 \
- Étape 5 : L'erreur classique :
Chercher à étudier le signe de e^{-x^2+2x}, ou s'inquiéter de l'exposant négatif.
Une exponentielle est toujours strictement positive, quel que soit son exposant — même très négatif. Elle ne change donc jamais le signe d'un produit, et l'on peut l'écarter du raisonnement dès qu'elle est en facteur.
👉 C'est ce qui rend ces études faciles : tout le travail est dans le polynôme.
À retenir :
e^u varie comme u, puisque est croissante.
👉 Et le sommet d'un trinôme se lit en -b{2a} : un contrôle indépendant qui ne coûte aucune dérivation.