Calculer une limite avec forme indéterminée et exponentielle

Énoncé

Déterminer la limite suivante : [formule]

Indice : C'est une forme indéterminée +{+}. Utilise le fait que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.

Correction

1. Étape 1 : ⚠️ Cette limite ne se « voit » pas : elle se DÉMONTRE par un théorème du cours. e^x{x} est une forme indéterminée +{+} — les deux termes explosent, et rien dans l'écriture ne dit lequel l'emporte. Écrire « l'exponentielle croît plus vite » sans citer le théorème n'est pas une justification : c'est répéter le résultat. Croissance comparée : [formule] 👉 C'est LE théorème du chapitre, et il faut le nommer. Il dit que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x — x^2, x^{10}, x^{100} — et le cas n = 1 est exactement la limite demandée.
2. Étape 2 : On nomme la forme — c'est la première chose à écrire : _{x +} e^x = + et _{x +} x = + [formule] 👉 Écrire ces trois mots n'est pas une formalité : c'est ce qui interdit de conclure au jugé et oblige à invoquer un résultat.

   forme {} indéterminée

3. Étape 3 : On applique le théorème, avec n = 1 : [formule] C'est un cas particulier de la croissance comparée, et il n'y a rien de plus à écrire. ℹ️ Ce que cela signifie concrètement, en chiffres : | x | 5 | 10 | 20 | 50 | |:---|---:|---:|---:|---:| | e^x{x} | 30 | 2\,200 | 2{,}4 10^7 | 1 10^{20} | Le quotient ne se contente pas de croître : il explose. Et c'est vrai même contre x^{100} — il faut simplement attendre plus longtemps.

   _{x +} e^x{x} = +

4. Étape 4 : 👉 D'où vient ce théorème ? Sans le démontrer, voici l'idée qui le rend crédible. L'exponentielle vérifie e^x 1 + x pour tout réel — sa courbe est au-dessus de sa tangente en 0. En appliquant cela à x{2} : e^{x/2} 1 + x{2} En élevant au carré (les deux membres étant positifs pour x > 0) : e^{x} (1 + x{2})^2 = 1 + x + x^2{4} Donc e^x{x} 1{x} + 1 + x{4}, et le dernier terme tend vers +. Par comparaison, le quotient tend vers +. L'exponentielle dépasse donc x pour une raison simple : elle dépasse déjà un polynôme de degré 2.

   e^x{x} 1{x} + 1 + x{4} +

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire « on factorise par e^x » et obtenir… la même expression. Une transformation qui rend l'expression de départ n'est pas un calcul : c'est du bruit qui donne l'illusion d'une démonstration. Si l'on ne sait pas transformer, il faut invoquer le théorème — c'est précisément à cela qu'il sert. 👉 Le réflexe correct : nommer la forme indéterminée, puis citer le résultat du cours qui la lève. Deux lignes, et c'est une démonstration complète. À retenir : _{x +} e^x{x^n} = + — l'exponentielle l'emporte sur toute puissance. 👉 Et « ça croît plus vite » n'est pas une justification : il faut nommer le théorème.