Calculer une limite avec forme indéterminée et exponentielle

Énoncé

Déterminer la limite suivante : [formule]

Indice : C'est une forme indéterminée +{+}. Utilise le fait que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x.

Correction

1. Étape 1 : On a une forme indéterminée +{+} car _{x +} e^x = + et _{x +} x = +.

   Forme indéterminée +{+}

2. Étape 2 : On sait que l'exponentielle croît plus vite que toute puissance de x. En factorisant par e^x au numérateur, on obtient : e^x{x} = e^x{x}.

   La croissance de e^x domine celle de x

3. Étape 3 : Quand x +, le numérateur e^x tend vers + beaucoup plus vite que le dénominateur x, donc le quotient tend vers +.

   _{x +} e^x{x} = +