Résoudre une inéquation exponentielle

Énoncé

Résoudre dans R l'inéquation : [formule]

Indice : Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, l'inéquation e^a e^b équivaut à a b.

Correction

1. Étape 1 : Une inéquation, et la croissance de en donne la clé. est strictement croissante : [formule] 👉 Le sens de l'inégalité se conserve au passage aux exposants — parce que est croissante. Ce serait l'inverse avec une fonction décroissante. ⚠️ Mais attention à ce qui vient APRÈS : si l'inéquation obtenue demande de diviser par un nombre négatif, le sens change à ce moment-là. Ce n'est pas l'exponentielle qui retourne l'inégalité, c'est la division. Ici le coefficient est +3, donc rien ne bouge.
2. Étape 2 : e^{3x-1} e^2. Par croissance stricte de : 3x - 1 2 3x 3 On divise par 3, qui est positif : le sens est conservé. [formule] [formule]

   S = [1\,;+[

3. Étape 3 : Le contrôle par deux valeurs, dedans et dehors : x = 1 (la borne) : e^{3-1} = e^2 e^2 ✓ — l'inégalité est large, donc la borne est incluse, et le crochet est fermé. x = 0 (hors de la solution) : e^{-1} 0{,}37, et e^2 7{,}39. On aurait 0{,}37 7{,}39, ce qui est faux ✓ 👉 Les deux essais confirment à la fois la solution et le type de crochet. C'est un contrôle qui prend dix secondes et attrape aussi bien une erreur de sens qu'une erreur de borne.

   x = 1 : e^2 e^2 \

4. Étape 4 : L'erreur classique : Retourner l'inégalité « parce qu'il y a une exponentielle ». est croissante : elle conserve l'ordre. Le seul cas où le sens change est une division par un nombre négatif — et il faut alors savoir où cela se produit, pour ne le faire qu'une fois. 👉 Le repère : si l'exposant est -2x+ (coefficient négatif), le sens changera ; s'il est +3x-, non. À retenir : est croissante : le sens se conserve au passage aux exposants. 👉 Et le contrôle par deux valeurs — une dedans, une dehors — valide la solution et le crochet d'un coup.