Dériver une fonction avec exponentielle et produit

Énoncé

Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur R par : [formule]

Indice : Utilise la formule de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv'. Ici, u(x) = x et v(x) = e^{2x}.

Correction

1. Étape 1 : Un produit de deux fonctions, dont l'une est une exponentielle composée. Deux formules s'enchaînent. Produit et exponentielle : [formule] 👉 L'ordre des opérations : on identifie le produit d'abord, puis on dérive chaque facteur — dont l'exponentielle, qui demande sa propre formule. ⚠️ Et un réflexe systématique à la fin : factoriser par l'exponentielle. Elle est présente dans les deux termes (la formule du produit la conserve partout), donc elle sort — et comme e^{kx} > 0, tout le signe se lit alors sur ce qui reste.
2. Étape 2 : f(x) = x\,e^{2x}. On identifie : u = x u' = 1 v = e^{2x} v' = 2e^{2x} (le coefficient 2 vient devant) On applique (uv)' = u'v + uv' : f'(x) = 1 e^{2x} + x 2e^{2x}

   f'(x) = e^{2x} + 2xe^{2x}

3. Étape 3 : On factorise par e^{2x} : [formule] 👉 Ce n'est pas de la coquetterie : sous cette forme, le signe se lit immédiatement. e^{2x} > 0 toujours, donc f' est du signe de 1 + 2x : f' < 0 pour x < -1{2} · f' > 0 pour x > -1{2} f admet donc un minimum global en x = -1{2}, valant f\!(-1{2}) = -1{2}e^{-1} -0{,}18. Sous la forme non factorisée e^{2x} + 2xe^{2x}, rien de tout cela n'était visible.

   f'(x) = (1+2x)e^{2x}

4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le facteur 2 en dérivant e^{2x}, et écrire v' = e^{2x}. On obtiendrait f'(x) = e^{2x}(1 + x), dont le zéro serait en -1 au lieu de -1{2} : le minimum serait placé au mauvais endroit. 👉 Le contrôle : dériver e^{kx} doit toujours faire apparaître k. Ici k = 2. À retenir : (uv)' = u'v + uv', puis factoriser par l'exponentielle. 👉 Et comme e^{u} > 0, tout le signe de la dérivée se lit sur le facteur polynomial restant.