Dériver une fonction avec exponentielle et produit

Énoncé

Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur R par : [formule]

Indice : Utilise la formule de dérivation d'un produit : (uv)' = u'v + uv'. Ici, u(x) = x et v(x) = e^{2x}.

Correction

1. Étape 1 : On identifie le produit : f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = x et v(x) = e^{2x}.

   u(x) = x, v(x) = e^{2x}

2. Étape 2 : On calcule les dérivées : u'(x) = 1 et v'(x) = 2e^{2x} (dérivée de e^{2x}).

   u'(x) = 1, v'(x) = 2e^{2x}

3. Étape 3 : On applique la formule du produit : (uv)' = u'v + uv'.

   f'(x) = 1 e^{2x} + x 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x)